36
правок
Изменения
Нет описания правки
==Операции на группах подстановок==
Пусть <tex>A</tex> — группа подстановок порядка <tex>m = |A|</tex> и степени <tex>d</tex>, действующая на множестве <tex>X = \{x_1,x_2,\ldots,x_d\}</tex>, а <tex>B</tex> {{---}} другая группа подстановок порядка <tex>n = |B|</tex> и степени <tex>e</tex>, действующая на множестве <tex>Y = \{y_1,y_2,\ldots,y_e\}</tex>. Например, пусть <tex>A = C_3</tex> {{---}} циклическая группа порядка <tex>3</tex>, действующая на множестве <tex>X={1, 2, 3}</tex>. Эта группа состоит из трех подстановок <tex>(1)(2)(3), (123)</tex> и <tex>(132)</tex>. Если взять в качестве <tex>B</tex> симметрическую группу <tex>S_2</tex> порядка <tex>2</tex>, действующую на множестве <tex>Y = \{a,b\}</tex>, то получим две подстановки <tex>(a)(b)</tex> и <tex>(ab)</tex>. Проиллюстрируем на этих двух группах подстановок действие нескольких бинарных операций.
===Сумма подстановок===
<tex>A + B</tex> {{---}} это группа подстановок, действующая на объединении <tex>X \cup Y</tex> непересекающихся множеств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> элементы которой записываются в виде <tex>\alpha + \beta</tex> и представляют собой упорядоченные пары подстановок <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex> и <tex>\beta</tex> из <tex>B</tex>. Каждый элемент <tex>z</tex>, принадлежащий множеству <tex>X \cup Y</tex> преобразуется подстановкой <tex>\alpha + \beta</tex> по правилу
\end{cases}
</tex>
Таким образом, группа <tex>C_3 + S_2</tex> содержит <tex>6</tex> подстановок, каждую из которых можно записать в виде суммы подстановок <tex>\alpha \in C_3</tex> и <tex>\beta\in S_2</tex>, как, например, <tex>(123)(ab)=(123)+(ab)</tex>.
===Произведение групп===
<tex>(\alpha\times\beta)(x,y)=(\alpha x,\beta y)</tex>
Подстановкой в группе <tex>C_3\times S_2</tex>, которая соответствует подстановке <tex>(123)+(ab)</tex> будет <tex>(1a\ 2b\ 3a\ 1b\ 2a\ 3b)</tex>, где для краткости символ <tex>(1,a)</tex> заменен на <tex>1a</tex>.
===Композиция групп===
