113
правок
Изменения
м
Тире
==Аффинные пространства==
{{Определение
|definition='''Аффинное пространство''' – — это либо вырожденное пустое множество, либо кортеж <math>\langle A, V, (+)\rangle</math>, состоящий из непустого множества точек <math>A</math>, векторного пространства <math>V</math> и действия <math>(+) : A \times V \rightarrow A</math>, удовлетворяющего следующим свойствам:
# <math>\forall a \in A : a + 0 = a</math>;
# <math>\forall v, w \in V, a \in A : (a + v) + w = a + (v + w)</math>;
С помощью этого определения довольно естественно ввести следующее определение аффинного подпространства.
{{Определение
|definition=Если <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> – — это аффинное пространство, то <math>B \subset A</math> является '''аффинным подпространством''' пространства <math>\langle A, V, (+)\rangle</math>, если любая аффинная комбинация любого множества точек из <math>B</math> принадлежит <math>B</math>.
}}
Например, <math>\{z=1\}</math> будет аффинным подпространством аффинного пространства над <math>\mathbb{R}^3</math>,
Следующая лемма проводит связь между аффинными подпространствами и векторными подпространствами.
{{Лемма
|statement=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> – — это аффинное пространство.
# Непустое <math>B \subset A</math> является аффинным подпространством тогда и только тогда, когда для любой точки <math>a \in B</math> множество <math>W_a = \{\overrightarrow{ab} : b \in B\}</math> является подпространством <math>V</math>. Как следствие, <math>B=\{a + w : w \in W_a \}</math>. Более того, <math>W = \{\overrightarrow{ab} : a, b \in B\}</math> является подпространством <math>V</math>, и для любой точки <math>a \in B</math> справедливо <math>W_a = W</math>.
# Для любого <math>W</math>, являющегося подпространством <math>V</math>, множество <math>\{a + v : v \in W\}</math> является аффинным подпространством для любого <math>a \in A</math>.
Аналогично с линейной независимостью в векторных пространствах можно ввести аффинную независимость.
{{Лемма
|statement=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> – — это аффинное пространство. Пусть <math>\{a_i\}_{i \in I}</math> – — множество точек из <math>A</math>. Если для какого-то <math>i \in I</math> множество векторов <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> линейно независимо, то для любого <math>i \in I</math> множество <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> будет линейно независимо.
|proof=Пусть для какого-то <math>i \in I</math> множество векторов <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> линейно независимо, <math>k \in I</math> и пусть есть такой набор <math>\{\lambda_j\}_{j \in I \setminus \{k\}}</math>, что
Эта лемма даёт возможность говорить о независимости множества точек без выделения одной из них.
{{Определение
|definition=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> – — это аффинное пространство. Множество точек <math>\{a_i\}_{i \in I}</math> '''аффинно независимо''', если для какого-то <math>i \in I</math> множество <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> линейно независимо.
}}
