Изменения

|about=2|statement=Данный граф <tex>G</tex> можно пометить <tex dpi = "160">\frac{p!}{|\Gamma(G)|}</tex> способамиЗадача о проверке на пустоту пересечения двух КС-грамматик неразрешима.|proof=Приведем набросок доказательства.  Пусть <tex>A</tex> = \{{---}} группа подстановок(G_1, действующая на множестве <tex>X</tex>. Для всякого элемента <tex>x G_2) \in X</tex> '''орбитой''' <tex>\Thetamid L(xG_1)</tex> элемента <tex>x</tex> называется подмножество множества <tex>X</tex>, состоящее из всех элементов <tex>y \in X</tex> таких, что <tex>\alpha \cdot x = y</tex> для некоторой подстановки <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex>. '''Стабилизатором''' <tex>Acap L(xG_2)</tex> элемента <tex>x</tex> называется подгруппа группы <tex>A</tex>, состоящая из всех подстановок из <tex>A</tex>, оставляющих элемент <tex>x</tex> неподвижным. Теорема является следствием соотношения <tex>|A| = |\Theta(x)|varnothing \cdot|A(x)|}</tex> и его интерпретации в настоящем контексте.}} {| cellpadding="2"| || Сведем [[ФайлПримеры неразрешимых задач:Перечисл2.jpg|thumb|left|720pxпроблема соответствий Поста|Рис. 2. Помеченные деревья с четырьмя вершинами.проблему соответствий Поста]]|} Рассмотрим пример. На рисунке 2 изображены все помеченные деревья с четырьмя вершинами. Всего их к <tex>16</tex>. Среди них <tex>12</tex> изоморфны цепи <tex>P_\overline{4A}</tex> и <tex>4</tex> {{---}} графу <tex>K_{1, 3}</tex>. Порядок группы <tex>\Gamma(P_{4})</tex> равен <tex>2</tex>. Порядок группы <tex>K_{1таким образом показав, 3} = 6</tex>что дополнение проблемы неразрешимо. Так как <tex>p = 4</tex>, то имеем <tex dpi = "160">\frac{4!}{|\Gamma(P_{4})|} = 12</tex> рекурсивные языки [[Замкнутость разрешимых и перечислимых языков относительно теоретико-множественных и <tex dpi = "160">\frac{4!}{алгебраических операций|\Gamma(K_{1замкнуты относительно дополнения]], 3})|} = 4</tex>то из неразрешимости дополнения проблемы будет следовать неразрешимость самой проблемы. == Теорема перечисления Пойа ==

Пойа показалДля любого экземпляра ПСП <tex>(x_1, как получить формулуx_2, перечисляющую орбиты в соответствии с весами и зависящую от циклической структуры подстановок данной группы. {{Теорема|statement=Пусть <tex>A</tex> {{---}} группа подстановок.., действующая на множестве <tex>Xx_n)</tex> с орбитами и <tex>\Theta_{1}(y_1, y_2, ..., \Theta_{2} \cdots \Theta_{n}y_n)</tex> и над алфавитом <tex>\omegaSigma</tex> {{---}} функция, приписывающая веса каждой орбите (весовая функция). Более того, можно подобрать символ <tex>\omega# \notin \Sigma</tex> определяется на <tex>X</tex> так, что . Для каждого экземпляра построим грамматики:* <tex>G_1 : S \omega(x) = rightarrow aSa \omega(mid a\Theta_{i})#a</tex>, если для всех <tex>x a \in \Theta_{i}Sigma</tex>. Тогда сумма весов орбит равна <tex>|A| \sum\limits_{i=1}^n \omegaL(\Theta_{i}G_1) = \sum{ w\limits_{#w^R \alpha mid w \in A} \sumSigma^* \limits_{x = \alpha x} \omega(x)</tex>.|proof=Уже упоминалось о том, что порядок <tex>|A|</tex> группы <tex>A</tex> равен <tex>|A(x)| \cdot |\Theta(x)|</tex> для любого <tex>x \in X</tex>, где обозначение <tex>A(x)w^R</tex> {{---}} стабилизатор элемента разворот <tex>xw</tex>. Так как весовая функция постоянна на элементах данной орбиты, то справедливо равенство * <tex>|G_2 : S \Theta_{i}| rightarrow x_iSy^R_i \omega(mid x_i\Theta_{i}) = \sum\limits_{x \in \Theta_{i}}\omega(x)#y^R_i</tex> для каждой орбиты всех <tex>i = 1, 2, \Theta_{i}dots n</tex>. Домножив второе равенство на первое и сократив, получаем Тогда <tex>|A| \omegaL(\Theta_{i}G_2) = \sum\limits_{x \in \Theta_x_{ii_1}x_{i_2}|A(x)|\omega(x)</tex>. Суммируя по всем орбитам, находим <tex>|A|\sum\limits_dots x_{i=1i_m}^n \omega# (\Theta_y_{i_1} y_{ii_2}) = \sum\limits_dots y_{i=1i_m})^n R \summid i_1, i_2, \limits_{x dots i_m \in \Theta_{i1, 2, \dots n \}, m \geqslant 1 \}|A(x)|\omega(x)</tex>, откуда непосредственно следует доказываемое соотношение.}}

Как следствие из этой теоремы выведем традиционную формулу Бернсайда. Для подстановки Если данный экземпляр ПСП имеет решение, то <tex>L(G_2)</tex> содержит хотя бы одну строку вида <tex>w\alpha#w^R</tex> через , поэтому <tex>j_{k}L(G_1) \cap L(G_2) \ne \alphavarnothing</tex>, и наоборот, если он не имеет решения, то <tex>L(G_2)</tex> обозначим число циклов длины не содержит строк такого вида, соответственно <tex>kL(G_1) \cap L(G_2) = \varnothing</tex> в её разложении в произведение непересекающихся циклов.

{{Лемма|author=Бернсайд|statement=Число <tex>N(A)</tex> орбит группы подстановок <tex>A</tex> равно <tex>N(A) = \frac{1}{|A|}\sum\limits_{\alpha \in A}j_{1}(\alpha)</tex>.|proof=Так как в доказательстве этой леммы Таким образом мы не учитываем значения весовой функции, то свели проблему соответствий Поста к <tex>|A|N(A) = \sum\limits_overline{\alpha \in A} \sum\limits_{x = \alpha x}1</tex>, но <tex>\sum\limits_{x = \alpha x}1</tex> и есть <tex>j_{1}(\alpha)</tex>следовательно, то есть для получения исходной формулы нужно поделить обе части равенства задача о проверке на <tex>|A|</tex>пустоту пересечения двух КС-грамматик неразрешима.

== Теорема ГуйяПо двум КС-Ури == {{Теорема|author=Гуйя-Ури, Ghouila-Houri|statement=Если грамматикам <tex>G_1</tex> и <tex>GG_2</tex> {{можно построить КС-грамматику для [[Замкнутость КС--}} сильносвязный ориентированный граф c языков относительно различных операций#.D0.9A.D0.BE.D0.BD.D0.BA.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BD.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1.8F|конкатенации]] задаваемых ими языков <tex>nL(G_1)L(G_2)</tex> вершинами и для каждой . По аналогии с этим мы можем рассматривать язык <tex>v L(G_1)\in V#L(GG_2)\#</tex> выполняется , где <brtex>\#</tex>\Bigg\{\begin{matrix---} deg^{in}новый символ, не встречающийся в алфавите. Заметим, что пересечение языков непусто, то есть <tex>L(vG_1) \geqslant ncap L(G_2) \ne \varnothing </2 \tex>, тогда и только тогда, когда <tex>L(G_1)\ deg^{out}#L(vG_2) \geqslant n#</2 \\tex> содержит [[Алгоритм Ландау-Шмидта#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F|тандемный повтор]].

Аналогично можно заметить, что пересечение <tex>L(G_1) \end{matrix} cap L(G_2) \ne \varnothing </tex>тогда и только тогда, то когда <tex>GL(G_1)\#L(G_2)^R</tex> {{---}} гамильтоновсодержит палиндром.|proof=