Сжатое многомерное дерево отрезков

Задача:

Пусть имеется множество [math]A[/math], состоящее из [math]n[/math] взвешенных точек в [math]p[/math]-мерном пространстве. Необходимо быстро отвечать на запрос о суммарном весе точек, находящихся в [math]p[/math]-мерном прямоугольнике [math](x_a,x_b),(y_a,y_b),\dots,(z_a,z_b)[/math]

Вообще говоря, с поставленной задачей справится и обычное [math]p[/math]-мерное дерево отрезков. Для этого достаточно на [math]i[/math]-том уровне вложенности строить дерево отрезков по всевозможным [math]i[/math]-тым координатам точек множества [math]A[/math], а при запросе использовать на каждом уровне бинарный поиск для установления желаемого подотрезка. Очевидно, запрос будет делаться за [math]O(\log^p\,n)[/math] времени, а сама структура данных будет занимать [math]O(n^p)[/math] памяти.

Оптимизация

Для уменьшения количества занимаемой памяти можно провести оптимизацию [math]p[/math]-мерного дерева отрезков. Для начала, будем использовать дерево отрезков с сохранением всего подотрезка в каждой вершине. Другими словами, в каждой вершине дерева отрезков мы будем хранить не только какую-то сжатую информацию об этом подотрезке, но и все элементы множества [math]A[/math], лежащие в этом подотрезке. На первый взгляд, это только увеличит объем структуры, но не все так просто. При построении будем действовать следующим образом — каждый раз дерево отрезков внутри вершины будем строить не по всем элементам множества [math]A[/math], а только по сохраненному в этой вершине подотрезку. Действительно, незачем строить дерево по всем элементам, когда элементы вне подотрезка уже были «исключены» и заведомо лежат вне желаемого [math]p[/math]-мерного прямоугольника. Такое «усеченное» многомерное дерево отрезков называется сжатым.

Построение дерева

Рассмотрим алгоритм построения сжатого дерева отрезков на примере множества [math]A[/math], состоящего из [math]4[/math]-х взвешенных точек в [math]2[/math]-мерном пространстве (плоскости):

[math] p=2,~~n=4,~~A: \begin{cases} (1, 3), \mbox{weight}=7 \\ (2, 1), \mbox{weight}=1 \\ (3, 3), \mbox{weight}=8 \\ (4, 2), \mbox{weight}=5 \end{cases} [/math]

• Cоставим массив из всех [math]n[/math] элементов множества [math]A[/math], упорядочим его по первой координате, построим на нём дерево отрезков с сохранением подмассива в каждой вершине
  

• Все подмассивы в вершинах получившегося дерева отрезков упорядочим по следующей координате
  

• Повторим построение дерева для каждого из них (координата последняя, поэтому в вершинах этих деревьев мы уже ничего строить не будем — подмассивы в каждой вершине можно не сохранять)
  

Псевдокод

  buildSubarrayTree(element[] array):
     // построение одномерного дерева отрезков на массиве array с сохранением подмассива в каждой вершине 
  
  buildNormalTree(element[] array):
      // построение обычного одномерного дерева отрезков на массиве array 
  
  getInsideArray(vertex v):
     // получение подмассива, сохраненного в вершине vertex 
  
  buildCompressedTree(element[] array, int coordinate = 1):   // рекурсивная процедура построения сжатого дерева отрезков
      if coordinate < p 
           sort(array, coordinate)                                // сортировка массива по нужной координате 
           segmentTree = buildSubarrayTree(array);
           foreach v: vertex in segmentTree 
                buildCompressedTree(getInsideArray(v), coordinate + 1);
      if coordinate == p
            sort(array, coordinate)
            buildNormalTree(array);

Анализ полученной структуры

Легко понять, что сжатое [math]p[/math]-мерное дерево отрезков будет занимать [math]O(n\log^{p-1}\,n)[/math] памяти: превращение обычного дерева в дерево с сохранением всего подотрезка в каждой вершине будет увеличивать его размер в [math]O(\log\,n)[/math] раз, а сделать это нужно будет [math]p-1[/math] раз. Но расплатой станет невозможность делать произвольный запрос модификации: в самом деле, если появится новый элемент, то это приведёт к тому, что мы должны будем в каком-либо дереве отрезков по второй или более координате добавить новый элемент в середину, что эффективно сделать невозможно. Что касается запроса веса, он будет полностью аналогичен запросу в обычном [math]p[/math]-мерном дереве отрезков за [math]O(\log^p\,n)[/math].

См. также

• Дерево отрезков. Построение
• Многомерное дерево отрезков

Источники информации

• MAXimal :: algo :: Дерево отрезков
• Википедия — Дерево отрезков