748
правок
Изменения
м
→Свойства простых чисел
|statement=Для любого [[Классы_чисел#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB|натурального]] числа <tex>n>1</tex>, наименьший, отличный от <tex>1</tex> положительный делитель всегда является '''простым числом'''.
|proof=
Рассмотрим множество <tex>M</tex> {{---}} положительные, состоящее из положительных, отличные от <tex>1</tex> делители числа <tex>n</tex>. Множество <tex>M</tex> не пусто, так как <tex>n \in M</tex>. Значит в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.
Пусть <tex>q</tex> не простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. Значит <tex>q</tex> не наименьшее число в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит <tex>q</tex> простое число.
