Теорема о существовании простого цикла в случае существования цикла — различия между версиями
Baev.dm (обсуждение | вклад) |
м |
||
(не показаны 23 промежуточные версии 8 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | {{Лемма | ||
+ | |statement=Наличие двух различных рёберно простых путей между какими-либо двумя вершинами неориентированного [[Основные определения теории графов|графа]] <tex>G</tex> равносильно наличию цикла в этом графе. | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex>\Rightarrow</tex> | ||
+ | |||
+ | Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует два различных рёберно простых пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Пусть это будут пути <tex>p = u e_1 v_1\ldots v_{n-1} e_n v</tex> и <tex>p' = u e'_1 v'_1\ldots v'_{n-1} e'_n v</tex>. Пусть их наибольший общий префикс заканчивается в вершине <tex>w = v_k = v'_k</tex>. Заметим, что <tex>w \neq v</tex>, т.к. пути различны. Рассмотрим суффиксы путей <tex>p</tex> и <tex>p'</tex>: <tex>s = w e_{k+1} \ldots v</tex> и <tex>s' = w e'_{k+1} \ldots v</tex> соответственно. Найдём первую совпадающую вершину <tex>w'</tex> в <tex>s</tex> и <tex>s'</tex>, не равную <tex>w</tex>. Осталось заметить, что замкнутый путь <tex>c</tex>, полученный объединением <tex>w \leadsto w'</tex> части пути <tex>s</tex> вместе с <tex>w' \leadsto w</tex> частью цепи <tex>s'</tex>, является циклическим путем. Действительно, в путях <tex>s</tex> и <tex>s'</tex> двух одинаковых рёбер подряд не бывает, т.к. это рёберно простые пути, а рёбра, смежные с <tex>w</tex> и <tex>w'</tex>, не совпадают по построению. Циклический путь <tex>c</tex> является представителем некоторого цикла в графе <tex>G</tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex>\Leftarrow</tex> | ||
+ | |||
+ | Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует цикл и пусть циклический путь <tex>c = v_0 e_1 v_1 \ldots e_n v_0</tex> {{---}} его представитель. Найдём первую точку <tex>w = v_k = v_l (l > k)</tex> пересечения <tex>c</tex> с самим собой. Такая точка существует, т.к. путь замкнутый. Рассмотрим циклический путь <tex>v_k e_{k+1} \ldots e_l v_l</tex>: он простой, т. к. если это неверно и существует вершина <tex>v_j = v_j' (k < j < j' < l)</tex>, то в <tex>c</tex> вершина <tex>v_j'</tex> повторяется раньше, чем <tex>v_l</tex>. Теперь элементарно взяв две вершины <tex>v_k</tex> и <tex>v_{k+1}</tex> легко заметить, что существует два различных рёберно непересекающихся пути между ними: <tex>v_k e_{k+1} v_{k+1}</tex> и <tex>v_k e_l v_{l - 1} \ldots v_k</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | [[Файл:2_paths_and_a_cycle.png|600px|thumb|center|Иллюстрация к лемме: пути отмечены соответственно <font color="f00000">красным</font> и <font color="0000f0">синим</font> (их общий префикс отмечен пунктиром), а циклический путь <tex>c</tex> проходит вдоль чёрных стрелок]] | ||
+ | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Если | + | Если в неориентированном графе существует цикл, то в этом графе существует простой цикл. |
|proof= | |proof= | ||
− | + | Выберем в графе минимальный по количеству рёбер цикл (он существует, потому что количество рёбер в любом цикле — натуральное число <ref>[[Натуральные и целые числа#.D0.A1.D1.83.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.8C.D1.88.D0.B5.D0.B3.D0.BE_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0|Существование наименьшего элемента в любом подмножестве <tex>\Bbb N</tex>]]</ref>). Предположим, что он не простой. Но тогда он содержит дважды одну и ту же вершину, т. е. содержит в себе цикл меньшего размера, что противоречит тому, что наш цикл минимальный. Таким образом, этот цикл — простой.}} | |
− | + | [[Файл:Simple cycle.png|thumb|580px|center|В графе минимальный цикл включает в себя три ребра — например, [2 - 5 - 6] (выделен <font color="red">красным</font>). Согласно теореме, он является простым.<br>]] | |
− | * | + | == Замечания == |
− | + | * Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, первая теорема справедлива и для вершинно-простых путей (усиление условия). | |
− | + | * Так как вершинно-простой цикл всегда является рёберно-простым, первая теорема справедлива и для рёберно-простого цикла (ослабление результата). | |
− | + | {{Утверждение | |
− | + | |about=неверное | |
+ | |statement=''Если две вершины графа лежат на цикле, то они лежат на простом цикле.'' | ||
+ | |proof= | ||
+ | В общем случае неверно, так как эти вершины могут лежать в разных компонентах вершинной или рёберной двусвязности: все пути из одной вершины в другую будут содержать одну и ту же [[Точка сочленения, эквивалентные определения|точку сочленения]] или один и тот же [[Мост, эквивалентные определения|мост]]. | ||
}} | }} | ||
− | + | == Примечания == | |
− | + | <references/> | |
− | == | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== См. также == | == См. также == | ||
− | |||
* [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути]] | * [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути]] | ||
− | * [[Отношение | + | * [[Отношение рёберной двусвязности]] |
* [[Отношение вершинной двусвязности]] | * [[Отношение вершинной двусвязности]] | ||
Версия 16:24, 1 февраля 2017
Лемма: |
Наличие двух различных рёберно простых путей между какими-либо двумя вершинами неориентированного графа равносильно наличию цикла в этом графе. |
Доказательство: |
Предположим, что в графе существует два различных рёберно простых пути между вершинами и . Пусть это будут пути и . Пусть их наибольший общий префикс заканчивается в вершине . Заметим, что , т.к. пути различны. Рассмотрим суффиксы путей и : и соответственно. Найдём первую совпадающую вершину в и , не равную . Осталось заметить, что замкнутый путь , полученный объединением части пути вместе с частью цепи , является циклическим путем. Действительно, в путях и двух одинаковых рёбер подряд не бывает, т.к. это рёберно простые пути, а рёбра, смежные с и , не совпадают по построению. Циклический путь является представителем некоторого цикла в графе .Предположим, что в графе существует цикл и пусть циклический путь — его представитель. Найдём первую точку пересечения с самим собой. Такая точка существует, т.к. путь замкнутый. Рассмотрим циклический путь : он простой, т. к. если это неверно и существует вершина , то в вершина повторяется раньше, чем . Теперь элементарно взяв две вершины и легко заметить, что существует два различных рёберно непересекающихся пути между ними: и . |
Теорема: |
Если в неориентированном графе существует цикл, то в этом графе существует простой цикл. |
Доказательство: |
Выберем в графе минимальный по количеству рёбер цикл (он существует, потому что количество рёбер в любом цикле — натуральное число [1]). Предположим, что он не простой. Но тогда он содержит дважды одну и ту же вершину, т. е. содержит в себе цикл меньшего размера, что противоречит тому, что наш цикл минимальный. Таким образом, этот цикл — простой. |
Замечания
- Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, первая теорема справедлива и для вершинно-простых путей (усиление условия).
- Так как вершинно-простой цикл всегда является рёберно-простым, первая теорема справедлива и для рёберно-простого цикла (ослабление результата).
Утверждение (неверное): |
Если две вершины графа лежат на цикле, то они лежат на простом цикле. |
В общем случае неверно, так как эти вершины могут лежать в разных компонентах вершинной или рёберной двусвязности: все пути из одной вершины в другую будут содержать одну и ту же точку сочленения или один и тот же мост. |