Корреляция лежит на отрезке <tex>[-1, 1]</tex>.
|proof=
Для доказательства будем использовать [[Ковариация случайных величин#Неравенство Коши — Буняковского | неравенство Коши-Буняковского]]:
<tex>\mathrm{Cov}^2(\eta, \xi) \leqslant \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2</tex>
Если правая часть не равна <tex>0</tex>, то приходим к следующему неравенству:
<tex> \dfrac{\mathrm{Cov}^2(\eta,\xi)}{(\sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2)} \leqslant 1</tex>
<tex>\mathrm{Corr}^2(\eta,\xi) \leqslant 1</tex>
<tex>-1 \leqslant \mathrm{Corr}(\eta,\xi) \leqslant 1</tex>.
}}
Если <tex> \mathrm{Corr}(\eta, \xi) = \pm 1 </tex>, то <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> линейно зависимы.
|proof=
В доказательстве будем использовать [[Ковариация случайных величин#Неравенство Коши — Буняковского | неравенство Коши-Буняковского]]. <br>
Так как <tex> \mathrm{Corr}(\eta, \xi) = \pm 1 </tex>, тo <tex>\mathrm{Cov}^2(\eta,\xi) = \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2</tex>
Из этого следует, что дискриминант этого уравнения <tex>\sigma_\xi ^2t^2+2\mathrm{Cov}(\eta,\xi)t+\sigma_\eta ^2 = 0</tex> равен <tex>0</tex> .
То есть уравнение имеет единственный корень <tex> t_0 </tex>.
Получаем, что <tex>\sigma_\xi ^2t_0 ^2+2\mathrm{Cov}(\eta,\xi) t_0+\sigma_\eta ^2 = 0</tex>.
Из этого следует, что <tex> E\big((\xi-E(\xi) +t_0 \eta - t_0 E(\eta))^2\big) = 0 </tex>
Это возможно только тогда, когда <tex> \xi-E(\xi) +t_0 \eta - t_0 E(\eta) = 0</tex>;
Видим, что <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> линейно зависимы.
}}
Если <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> линейно зависимы, то <tex>\mathrm{Corr}(\eta, \xi)= \pm 1 </tex>.
|proof=
Предположим, что существует линейная зависимость: <tex>\xi = k \times \eta + b</tex>.
Тогда мы имеем <tex>E(\xi)=k E(\eta) + b</tex>
<tex> \mathrm{Cov}(\eta, \xi) = E((\eta - E(\eta))(\xi - E\xi))=k E\big((\eta-E(\eta))^2\big)=k \sigma_\eta ^2 </tex>.
По свойству дисперсии <tex> \sigma_\xi ^2 = D(\xi) = E\big((\xi-E(\xi))^2\big)= k^2 E\big((\eta-E(\eta))^2\big)= k^2 \sigma_\eta ^2 </tex>
Получаем, что
<tex>\mathrm{Corr}(\eta, \xi)= \dfrac{\mathrm{Cov}(\eta, \xi)}{\sigma_\eta \sigma_\xi}=\dfrac{k}{|k|}</tex>.
}}
