Некоторые геометрические приложения интеграла

Эта статья находится в разработке!

Длина дуги

Определение:

Дуга — множество точек [math](x; y)[/math] таких, что [math]\begin{cases}x = \varphi(t) \\y = \psi(t) \\t \in [a; b]\end{cases}[/math]

Для того, чтобы не получался патологический объект, сильно отличающийся от понятия дуги, продиктованного здравым смыслом, на [math]\varphi(t)[/math] и [math]\psi(t)[/math] накладываются следующие ограничение: «[math]\varphi[/math] и [math]\psi[/math] непрерывны». Но даже в этом случае может получиться полная хрень. Например, Пеано была построена дуга, проходящая через каждую точку квадрата.

Поэтому, на [math]\varphi[/math] и [math]\psi[/math] накладывается ещё больше ограничений:

• у дуги нет самопересечений
• [math]\varphi[/math], [math]\psi[/math] — непрерывно дифференцируемы
• у кривой нет угловых точек ([math](\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2 \gt 0[/math])

Поэтому, на все тонкости можно не обращать внимания, и считать, что всё хорошо.

Определение:

Далее, лишь для удобства при написании, [math]\dot\varphi[/math] — то же самое, что [math]\varphi'[/math]

Утверждение:

Пусть дуга задана точками [math]P(\varphi(t), \psi(t))[/math], [math]t \in [a; b][/math]. Тогда [math]L(P) = \int\limits_a^b \sqrt{\dot\varphi^2(t) + \dot\psi^2(t)} dt[/math]

[math]\triangleright[/math]

Возьмём разбиение [math]\tau \colon a \leq t_0 \lt t_1 \lt \ldots \lt t_n \leq b[/math]. [math]\Delta x_k= \varphi(t_{k + 1}) - \varphi(t_k)[/math] [math]\Delta y_k = \psi(t_{k + 1} - \psi(t_k))[/math]. Рассмотрим отрезок [math]P_kP_{k+1}[/math]. Он является хордой дуги и его длина равна [math]\sqrt{\Delta x_k^2 + \Delta y_k^2}[/math]. Определение: Ломаная [math]P_0 P_1 \ldots P_n[/math] — вписанная в дугу. Сложив длины этих отрезков, получаем длину ломаной, состоящей их них. [math]|\Gamma| = |P_0 P_1 \ldots P_n| = l(\tau)[/math]. Определение: [math]l(\Gamma) = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} l(\tau)[/math] Определение: Если [math]\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} l(\tau)[/math] — конечен, то дуга называется спрямляемой. Докажем в заданных ограничениях, что дуга всегда спрямляемая. TODO: Понимание, вернись!

[math]\triangleleft[/math]