Участник:Ivan Trofimov — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(commit)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение  
 
{{Определение  
 
|definition=
 
|definition=
'''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>a_n</tex> — это формальный ряд вида:  
+
'''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>\{a_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> — это формальный ряд вида:  
 
<center>
 
<center>
 
<tex>A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</tex>,
 
<tex>A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</tex>,
Строка 9: Строка 9:
 
== Примечание ==
 
== Примечание ==
 
* Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.  
 
* Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.  
* что-то про то почему s, а не x
+
* Вместо переменной <tex>x</tex> используется <tex>s</tex>. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.
 +
* Принято писать <tex> \frac{a_n}{n^s} </tex> вместо <tex> {a_n}{n^{-s}} </tex>. Это считается более удобной формой.
  
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
  
Самая известная среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана  
+
Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана  
 
{{Определение  
 
{{Определение  
 
|definition=
 
|definition=
'''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') -- производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности a1, a2, a3, вида:
+
'''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''The Riemann zeta function'') производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex>, состоящей из единиц:<center>
 +
<tex>\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,</tex>
 +
</center>
  
a1 +a2 +a3 +... 1s 2s 3s
 
 
}}
 
}}
  
Ниже таблица с кучей разных примеров
+
Таблица содержит последовательности производящих функций. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. <tex>[\zeta(s)]^2</tex> является последовательностью количества делителей числа. <tex>\mu(n)</tex> — последовательность Мҷбиуса (англ. Möbius). <tex>H(n)</tex> — последоватльность факторизаций числа. <tex>\phi(n)</tex> — функция Эйлера. <tex>\lambda(s)</tex> — лямбда функция Дирихле.
 +
{| class="wikitable" style="width:20cm" border=1
 +
 
 +
|-align="center" bgcolor=#EEEEFF
 +
| '''<tex>f(s)</tex>''' || '''Последоватльность''' || '''<tex>{a_n}</tex>'''
 +
 
 +
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
 +
| <tex>\zeta(s)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots</tex>
 +
 
 +
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
 +
| <tex>1/\zeta(s)</tex> || <tex>\mu(n)</tex> || <tex>1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, \dots</tex>
  
 +
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
 +
| <tex>[\zeta(s)]^2</tex> || <tex>d(n)</tex> || <tex>1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, \dots</tex>
 +
 +
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
 +
| <tex>\zeta(s)\zeta(s-k)</tex> || <tex>\sigma_k(n)</tex> ||
 +
 +
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
 +
| <tex>\zeta(s-1)/\zeta(s)</tex> || <tex>\phi(n)</tex> || <tex>1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, \dots</tex>
 +
 +
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
 +
| <tex>1/[2-\zeta(s)]</tex> || <tex>H(n)</tex> || <tex>1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots</tex>
 +
 +
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
 +
| <tex>\lambda(s)</tex> || <tex>1/2[1-(-1)^n]</tex> || <tex>1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots</tex>
 +
 +
|-align="left" bgcolor=#FFFFFF
 +
| <tex>(\zeta(s)\zeta(s-1))/(\zeta(2s))</tex> || <tex>\psi(n)</tex> || <tex>1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, \dots</tex>
 +
|}
 
== Операции ==
 
== Операции ==
  
Строка 29: Строка 59:
 
=== Умножение ===
 
=== Умножение ===
  
A(s) =  ann−s и B(s) =   bnn−s мы получаем функцию
+
Если <tex>A(s)</tex> и <tex>B(s)</tex> — произодящие функции Дирихле двух последовательностей <tex>\{a_n\}_{n=1}^\infty</tex> и <tex>\{b_n\}_{n=1}^\infty</tex> соответсвенно, то <tex>A(s)B(s) = \frac{a_1b_1}{1^s} + \frac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \frac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \frac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \frac{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}</tex>, где внутренние суммирование ведется по всем разложением числа <tex>n</tex> в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел.
A(s)B(s)= a1b1 + a1b2 +a2b1 + a1b3 +a3b1 + a1b4 +a2b2 +a4b1 +... 1s 2s 3s 4s
 
Внутренние суммирование ведется по всем разложениям числа m в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативнную структуру натуральных чисел.  
 
 
 
 
=== Сложение ===
 
=== Сложение ===
  
Сложение данных производящих функций соответствует обычному почтенному сложению последовательностей  
+
Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.
  
 
//пример  
 
//пример  
Строка 41: Строка 68:
 
=== Единица ===
 
=== Единица ===
  
Существует единица 1 = 1^-s  
+
Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>.
  
 
=== Обратимость ===
 
=== Обратимость ===
  
Любая производящая функция Дирихле A(s) с ненулевым свободным членом, а1 != 0, обратима: для нее су
+
Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s)</tex> с ненулевым свободным членом, <tex>a_1 \neq 0</tex>, обратима: для нее существует функция <tex>B(s)</tex>, такая что <tex>A(s)B(s) = 1</tex>
Можно привести доказательство теоремы о виде обратной функции для дето-функции Римана
+
 
 +
Attention!
 +
Можно привести доказательство теоремы об обратной функции для дзета-функции Римана
 
== Источники информации ==  
 
== Источники информации ==  
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
+
* [http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d62ef84c-a780-11dc-945c-d34917fee0be/47_lando_lekcii_o_proizvodyashih_foo.pdf С.К.Ландо, Леции о производящих функциях, 2007 год]
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
+
* [http://mathworld.wolfram.com/DirichletGeneratingFunction.html Dirichlet Generating Function]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
+
* [https://mathlesstraveled.com/2017/01/30/dirichlet-generating-functions/ Dirichlet generating functions]
 
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
 
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
 
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics
 
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics
Строка 56: Строка 85:
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Комбинаторика]]
 
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Подсчёт числа объектов]]
 

Версия 19:50, 14 июня 2017

Определение:
Производящая функция Дирихле (англ. Dirichlet generating functions) последовательности [math]\{a_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] — это формальный ряд вида:

[math]A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}[/math],


Примечание

  • Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
  • Вместо переменной [math]x[/math] используется [math]s[/math]. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.
  • Принято писать [math] \frac{a_n}{n^s} [/math] вместо [math] {a_n}{n^{-s}} [/math]. Это считается более удобной формой.

Примеры

Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана

Определение:
Дзета-функция Римана (англ. The Riemann zeta function) — производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности [math] \{a_n\}_{n=1}^{\infty} [/math], состоящей из единиц:

[math]\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,[/math]


Таблица содержит последовательности производящих функций. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. [math][\zeta(s)]^2[/math] является последовательностью количества делителей числа. [math]\mu(n)[/math] — последовательность Мҷбиуса (англ. Möbius). [math]H(n)[/math] — последоватльность факторизаций числа. [math]\phi(n)[/math] — функция Эйлера. [math]\lambda(s)[/math] — лямбда функция Дирихле.

[math]f(s)[/math] Последоватльность [math]{a_n}[/math]
[math]\zeta(s)[/math] [math]1[/math] [math]1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots[/math]
[math]1/\zeta(s)[/math] [math]\mu(n)[/math] [math]1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, \dots[/math]
[math][\zeta(s)]^2[/math] [math]d(n)[/math] [math]1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, \dots[/math]
[math]\zeta(s)\zeta(s-k)[/math] [math]\sigma_k(n)[/math]
[math]\zeta(s-1)/\zeta(s)[/math] [math]\phi(n)[/math] [math]1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, \dots[/math]
[math]1/[2-\zeta(s)][/math] [math]H(n)[/math] [math]1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots[/math]
[math]\lambda(s)[/math] [math]1/2[1-(-1)^n][/math] [math]1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots[/math]
[math](\zeta(s)\zeta(s-1))/(\zeta(2s))[/math] [math]\psi(n)[/math] [math]1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, \dots[/math]

Операции

Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.

Умножение

Если [math]A(s)[/math] и [math]B(s)[/math] — произодящие функции Дирихле двух последовательностей [math]\{a_n\}_{n=1}^\infty[/math] и [math]\{b_n\}_{n=1}^\infty[/math] соответсвенно, то [math]A(s)B(s) = \frac{a_1b_1}{1^s} + \frac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \frac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \frac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \frac{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}[/math], где внутренние суммирование ведется по всем разложением числа [math]n[/math] в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел.

Сложение

Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.

//пример

Единица

Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция [math]1 = 1 ^ {-s}[/math].

Обратимость

Любая производящая функция Дирихле [math]A(s)[/math] с ненулевым свободным членом, [math]a_1 \neq 0[/math], обратима: для нее существует функция [math]B(s)[/math], такая что [math]A(s)B(s) = 1[/math]

Attention! Можно привести доказательство теоремы об обратной функции для дзета-функции Римана

Источники информации