Теоремы Карзанова о числе итераций алгоритма Диница в сети с целочисленными пропускными способностями

Лемма:

Пусть [math]f[/math] - блокирующий поток в сети [math]G[/math]. [math]s[/math], [math]t[/math] - исток и сток, соответственно. Тогда [math]\rho_{G}(s, t) \lt \rho_{G_{f}}(s, t)[/math].

Определение:

В графе G, в котом s, t - исток и сток, соответственно. Для v - вершины, не являющейся истоком или стоком: [math]c^{+}(v) = \sum\limits_{uv \in E} c_{uv}[/math]. [math]c^{-}(v) = \sum\limits_{vu \in E} c_{vu}[/math]. [math]c^{+}(s) = +\infty[/math]. [math]c^{-}(t) = +\infty[/math]. [math]c(v) = min(c^{+}(v), c^{-}(v))[/math]. [math]c(G) = \sum\limits_{v \in V}c(v)[/math].

Теорема (Первая теорема Карзанова):

Число итераций алгоритма Диница в сети [math]G[/math] ([math]s[/math], [math]t[/math] - исток и сток, соответственно.) с целочисленными пропускными способностями - [math]O(\sqrt{c(G)})[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Разобьём все итерации на 2 группы: 1). Короткие фазы - когда [math]\rho(s, t) \leq k[/math]. 2). Длинные фазы - когда [math]\rho(s, t) \gt k[/math]. Коротких фаз - [math]O(k)[/math] штук, т.к. после каждой итерации [math]\rho(s, t)[/math] увеличивается, но не может быть больше [math]k[/math]. Длинные фазы: Число длинных фаз [math]\leq[/math] количество путей из [math]s[/math] в [math]t[/math] длины "[math] \gt k[/math]" [math] \leq \frac{\sum\limits_{v \in V} c(v)}{k} = \frac{c(G)}{k}[/math]. (т.к. через вершину [math]v[/math] не может пройти больше [math]c(v)[/math] путей, а на каждом пути лежит [math]\geq k[/math] вершин.) Получается, что число длинных фаз - [math]O(\frac{c(G)}{k})[/math]. Давайте возьмём [math]k = \sqrt{c(G)}[/math]. Получим, что количество фаз - [math]O(\sqrt{c(G)})[/math]. А, значит, что количество итераций тоже - [math]O(\sqrt{c(G)})[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Вторая теорема Карзанова):

Число итераций алгоритма Диница в сети [math]G[/math] ([math]s[/math], [math]t[/math] - исток и сток, соответственно.) с целочисленными пропускными способностями меньше [math]c_{max}[/math] - [math]O(\sqrt[3]{{|V|}^2 c_{max}})[/math].