Изменения
Нет описания правки
|definition = В комбинаторной математике числа Белла(англ. Bell's numbers) показывают количество возможных способов разбиения множества из ''n'' элементов на непустые подмножества.
}}
Числа Белла начинаются с <tex dpi="130">B_0=B_1=1</tex>и образуют последовательность :
:1, 1,2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057, ...
<tex dpi="130">n</tex>- элемент чисел Белла, <tex dpi="130">B_n</tex>, показывает количество различных способов разбиения множества, то есть. количество [[Отношение эквивалентности|отношений эквивалентности]] в нем.
[[File:Order.png|thumb|upright|Разбиения множеств могут быть расположены частично-упорядоченном виде. Каждое подмножество длины n использует одно из подмножеств длины<tex dpi="130">n-1</tex>.]]
[[File:XxxCircles.png|thumb|upright|52 разбиения множества из 5 элементов]]
<tex dpi="130">B_n</tex> количество разбиений множества размера <tex dpi="130">n</tex>. Разбиение множества <tex dpi="130">S</tex> определяется как совокупность '''непустых, попарно непересекающихся подмножеств множества ' <tex dpi="130">S</tex>'. Например, ''B''<sub>3</sub> = 5, потому что множество, состоящее их 3 элементов {''a'', ''b'', ''c''} может быть разделено 5 различным способами:
:{ {''a''}, {''b''}, {''c''} }
==Факторизации==
Если число <tex dpi="130">N</tex>является [[wikipedia:Square-free element|'''свободным от квадратов''']], то<tex dpi="130">B_n</tex> показывает количество различных мультипликативных разбиений ''<tex dpi="130">N''</tex>.Если ''tex dpi="130">N'' </tex> является квадратичным положительным целым числом (является произведением некоторого числа '' tex dpi="130">n'' </tex> различных простых чисел), то B<subtex dpi="130">nB_n</subtex> дает '''число различных мультипликативных разбиений<tex dpi="130">N</tex>. Это является факторизацией <tex dpi="130">N</tex> в числа большие, чем 1(рассматривая две факторизации как идентичные, если они имеют одинаковые факторы в другом порядке.) подтверждает это наблюдение Сильвио Минетоле(''Principii di Analisi Combinatoria'', 1909).Например, 30 является произведением 3 простых чисел 2, 3, and 5, и имеет ''B''<subtex dpi="130">3N</subtex> = 5 факторизаций:
:<tex>30 = 2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5</tex>
==Схемы рифмовки==
Числа Белла показывают '''количество схем рифмовки ''tex dpi="130">n''</tex>-ой строфы'''. Схема рифмы описывает, какие строки рифмуются друг с другом, и поэтому может быть истолковано как разбиение множества строк в подмножества рифм. Таким образом, 15 возможных четверостиший схемами рифмовки являются: AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC, ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC, and ABCD.
==Вычисление с помощью треугольника Пирса==
Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму [[Числа Стирлинга второго рода|'''чисел Стирлинга второго рода''']]''(Stirling numbers of the second kind)'':
:<tex>B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}.</tex>
Число Стирлинга <tex>\left\{{n\atop k}\right\}</tex> является количеством способов разбиения набора элементов ''tex dpi="130">n'' </tex> в ровно ''tex dpi="130">k'' </tex> непустых подмножеств.
Michael Spivey получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования:
:<tex>B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.</tex>
:<tex>B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}.</tex>
Эта формула может быть получена за счет расширения экспоненциальной производящей функции, используя [[wikipedia:Taylor series|'''ряд Тейлора''']](''Taylor series'') для экспоненциальной функции, а затем собирая условия с аналогичным показателем экспоненты.
Это позволяет интерпретировать ''B<sub>n</sub>'' как ''tex dpi="130">n''</tex>-й момент Пуассоновского распределения с ожидаемым значением 1.
===Интегральное представление===
