Бинарное отношение

Бинарным отношением R из множества A в B называется подмножество прямого произведения A и B и обозначается:

[math]R \subset \Alpha \times \Beta[/math]

Часто используют инфиксную форму записи: [math]aRb, \ (a,b) \subset R[/math]

Если A = B то R называют бинарными отношением на множестве A:

[math]R \subset \Alpha \times \Alpha[/math]

Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.

Свойства отношений

Для [math]R \subset A^2[/math] определены свойства:

1. Рефлексивность: [math]\mathcal {8} x \in A \ (xRx)[/math]
2. Антирефлексивность: [math]\mathcal {8} x \in A \ (\neg xRx)[/math]
3. Симметричность: [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow yRx)[/math]
4. Антисимметричность: [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)[/math]
5. Транзитивность: [math]\mathcal {8} x,y,z \in A \ (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)[/math]
6. Полнота(линейность): [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \lor yRx)[/math]
7. Ассимметричность: [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow \neg (yRx))[/math]

Виды отношений

Выделяются следующие виды отношений:

• квазипорядка - рефлексивное транзитивное
• эквивалентности - рефлексивное симметричное транзитивное
• частичного порядка - рефлексивное антисимметричное транзитивное
• строгого порядка -антирефлексивное антисимметричное транзитивное
• линейного порядка -полное антисимметричное транзитивное
• доминирования - антирефлексивное асимметричное

Степень отношения

Отношение R, заданное на множествах [math]A_{1},A_{2},A_{3},\dots, A_{n} [/math] называется подмножество прямого произведения этих множеств и обозначается:

[math]\langle x_1, x_2, \dots, x_n\rangle\in R, \ x_k \in A_k[/math].

Примеры отношений

• Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.
• Примеры нерефлексвных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
• Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
• Примеры симметричных отношений: равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
• Примеры антисимметричных отношений: больше, меньше, больше или равно
• Примеры асимметричных отношений: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).