Изменения
Новая страница: «'''Бинарным отношением''' R из множества A в B называется подмножество прямого произведения A …»
'''Бинарным отношением''' R из множества A в B называется подмножество прямого произведения A и B и обозначается:
<math>R \subset \Alpha \times \Beta</math>
Часто используют инфиксную форму записи:
<math>aRb, \ (a,b) \subset R</math>
Если A = B то R называют бинарными отношением на множестве A:
<math>R \subset \Alpha \times \Alpha</math>
Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются [[Ориентированный граф|графы]] и частично упорядоченные множества.
== Свойства отношений ==
Для <math>R \subset A^2</math> определены свойства:
# [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]]: <math>\mathcal {8} x \in A \ (xRx)</math>
# [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]]: <math>\mathcal {8} x \in A \ (\neg xRx)</math>
# [[Симметричное отношение|Симметричность]]: <math>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow yRx)</math>
# [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]]: <math>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)</math>
# [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: <math>\mathcal {8} x,y,z \in A \ (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)</math>
# Полнота(линейность): <math>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \lor yRx)</math>
# [[Антисимметричное отношение|Ассимметричность]]: <math>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow \neg (yRx))</math>
== Виды отношений ==
Выделяются следующие виды отношений:
* квазипорядка - рефлексивное транзитивное
* эквивалентности - рефлексивное симметричное транзитивное
* частичного порядка - рефлексивное антисимметричное транзитивное
* строгого порядка -антирефлексивное антисимметричное транзитивное
* линейного порядка -полное антисимметричное транзитивное
* доминирования - антирефлексивное асимметричное
== Степень отношения ==
Отношение ''R'', заданное на множествах <math>A_{1},A_{2},A_{3},\dots, A_{n} </math> называется подмножество прямого произведения этих множеств и обозначается:
<math>\langle x_1, x_2, \dots, x_n\rangle\in R, \ x_k \in A_k</math>.
== Примеры отношений ==
*Примеры '''рефлексивных отношений''': равенство, одновременность, сходство.
*Примеры нерефлексвных отношений''': «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
*Примеры '''транзитивных отношений''': «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
*Примеры '''симметричных отношений''': равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
*Примеры '''антисимметричных отношений''': больше, меньше, больше или равно
*Примеры '''асимметричных отношений''': отношение «больше» (>) и «меньше» (<).
<math>R \subset \Alpha \times \Beta</math>
Часто используют инфиксную форму записи:
<math>aRb, \ (a,b) \subset R</math>
Если A = B то R называют бинарными отношением на множестве A:
<math>R \subset \Alpha \times \Alpha</math>
Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются [[Ориентированный граф|графы]] и частично упорядоченные множества.
== Свойства отношений ==
Для <math>R \subset A^2</math> определены свойства:
# [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]]: <math>\mathcal {8} x \in A \ (xRx)</math>
# [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]]: <math>\mathcal {8} x \in A \ (\neg xRx)</math>
# [[Симметричное отношение|Симметричность]]: <math>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow yRx)</math>
# [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]]: <math>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)</math>
# [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: <math>\mathcal {8} x,y,z \in A \ (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)</math>
# Полнота(линейность): <math>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \lor yRx)</math>
# [[Антисимметричное отношение|Ассимметричность]]: <math>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow \neg (yRx))</math>
== Виды отношений ==
Выделяются следующие виды отношений:
* квазипорядка - рефлексивное транзитивное
* эквивалентности - рефлексивное симметричное транзитивное
* частичного порядка - рефлексивное антисимметричное транзитивное
* строгого порядка -антирефлексивное антисимметричное транзитивное
* линейного порядка -полное антисимметричное транзитивное
* доминирования - антирефлексивное асимметричное
== Степень отношения ==
Отношение ''R'', заданное на множествах <math>A_{1},A_{2},A_{3},\dots, A_{n} </math> называется подмножество прямого произведения этих множеств и обозначается:
<math>\langle x_1, x_2, \dots, x_n\rangle\in R, \ x_k \in A_k</math>.
== Примеры отношений ==
*Примеры '''рефлексивных отношений''': равенство, одновременность, сходство.
*Примеры нерефлексвных отношений''': «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
*Примеры '''транзитивных отношений''': «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
*Примеры '''симметричных отношений''': равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
*Примеры '''антисимметричных отношений''': больше, меньше, больше или равно
*Примеры '''асимметричных отношений''': отношение «больше» (>) и «меньше» (<).
