89
правок
Изменения
Нет описания правки
== Основные определения ==
{{Определение
|id = edge_colouring
}}
{{Определение
|id = chromativ_index
|definition = '''Хроматическим индексом''' (англ. ''Chromatic index'') <tex>\chi '(G)</tex> графа <tex>G(V, E)</tex> называется такое минимальное число '''t''', что существует рёберная раскраска графа в '''t''' цветов.
}}
== Некоторые оценки хроматического индекса ==
{{Лемма
|id = lem1
|about = о нижней оценке хроматического индекса
|statement= <tex>\forall\ G(V, E) : \Delta (G) \leqslant \chi '(G)</tex>, где <tex>\Delta (G)</tex> {{---}} максимальная степень вершины в графе
|proof= Действительно, давайте рассмотрим вершину максимальной степени в графе. Ей инцидентно ровно <tex>\Delta(G)</tex> рёбер. При этом, чтобы все они имели попарно различные цвета, они все должны иметь различные цвета, иначе найдётся пара различных рёбер, инцидентных одной вершине и имеющих одинаковый цвет.
}}
Заметим, что в теории графов доказывается более строгое неравенство<ref>http://math.uchicago.edu/~may/REU2015/REUPapers/Green.pdf</ref>, ограничивающее <tex>\chi '(G)</tex>. А именно то, что <tex>\forall\ G(V, E) : \Delta (G) \leqslant \chi '(G) \leqslant \Delta (G) + 1</tex>.
== Рёберная раскраска двудольного графа ==
{{Лемма
|id = lem2
|about = о совершенном паросочетании
|statement= В [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph | двудольном]] <tex>k</tex>-[[Основные определения теории графов#defRegularGraph |регулярном]] графе с одинаковыми по размеру долями существует совершенное паросочетание.
|proof=
Возьмём <tex>L</tex> {{---}} произвольное подмножество левой доли. Рассмотрим подграф образованный <tex>L</tex> и множеством всех их соседей из правой доли <tex>R</tex>. Все вершины левой доли нашего подграфа будут иметь степень <tex>k</tex>, а степени вершин правой доли '''не превосходят''' <tex>k</tex>.
Посчитаем количество рёбер <tex>m_{L}</tex> в данном подграфе. В силу его двудольности, это число будет равняться сумме степеней вершин одной из долей. <tex>m_{L} = \underset{{v\in L}}{\sum} deg(v) = |L|\cdot k = \underset{{u\in R}}{\sum} deg(u) \leqslant |R|\cdot k</tex>. Из этого мы получаем, что <tex>|L|\leqslant |R|</tex>.
Значит в данном графе выполняется [[Теорема Холла | Теорема Холла]]. Из чего следует, что в нём есть совершенное паросочетание.
}}
{{Теорема
|statement= Существует рёберная раскраска двудольного графа <tex>G</tex> в <tex>\Delta(G)</tex> цветов. Иными словами, для двудольного графа <tex>\chi '(G) = \Delta(G)</tex>
|proof=
В доказательство рассмотрим следующий алгоритм поиска такой раскраски:
# Для начала сделаем доли графа одинаковыми по размеру, дополнив меньшую из долей необходимым количеством [[Основные определения теории графов#isolated_vertex | изолированных вершин]];
# Следующим жадным алгоритмом сделаем его <tex>\Delta(G)</tex>-регулярным: пока граф не регулярный возьмём вершину левой доли степени меньше <tex>\Delta(G)</tex> и аналогичную вершину правой доли. Соединим их ребром;
# Мы получили регулярный двудольный граф с равными долями. По лемме о совершенном паросочетании в таком графе есть совершенное паросочетание. Найдём его, например [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания | алгоритмом Куна]], и удалим из графа;
# Заметим, что граф всё ещё остался регулярным, так как степень каждой вершины уменьшилась на <tex>1</tex>. Будем повторять процесс, пока в графе есть рёбра;
# В итоге мы разобьём рёбра графа на <tex>\Delta(G)</tex> совершенных паросочетаний;
# В конце нам остаётся каждое паросочетание покрасить в свой цвет и удалить рёбра, которых не было в изначальном графе;
Докажем, что жадный алгоритм из пункта <tex>2</tex> всегда выполняет поставленную задачу.
Предположим, что это не так, и, не нарушая общности, у нас остались вершины в правой доле степени меньше <tex>\Delta(G)</tex>, а в левой таких вершин нет. Давайте посчитаем количество рёбер <tex>m</tex> в графе. Из левой доли исходит <tex>|L| \cdot \Delta(G)</tex> рёбер. В правую же приходит не более <tex>|R| \cdot \Delta(G)</tex> рёбер, но так как существует вершина степени меньше <tex>\Delta(G)</tex>, то неравенство строгое. Получается <tex>|L| \cdot \Delta(G) = m < |R| \cdot \Delta(G)</tex>. Но в нашем графе <tex>|L| = |R|</tex>. Следовательно <tex>\Delta(G) < \Delta(G)</tex>, что приводит нас к противоречию.
Таким образом мы нашли раскраску двудольного графа в <tex>\Delta(G)</tex> цветов и предъявили алгоритм её получения. А по лемме о нижней оценки, меньше цветов использовать нельзя. Следовательно <tex>\chi '(G) = \Delta(G)</tex>
Заметим, что наш жадный алгоритм может проводить кратные рёбра в графе. Однако ни лемма о совершенном паросочетании, ни [[Теорема Холла | Теорема Холла]] не используют в своём доказательстве отсутствие таковых.
}}
==См. также==
* [[Теорема Холла]]
* [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания]]
* [[Раскраска двудольного графа в два цвета]]
==Примечания==
<references/>
==Источники информации==
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Рёберная_раскраска Википедия {{---}} Рёберная раскраска]
[[Категория: Раскраски графов]]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
