Независимые случайные величины — различия между версиями
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Определение == | == Определение == | ||
| − | '''Независимые случайные величины''' - <math> \xi </math> и <math>\eta</math> называются независимыми, если для <math>\forall \alpha </math> и <math>\beta \in \mathbb R</math> события <math> \xi \leqslant \alpha</math> и <math> \eta \leqslant \beta</math> независимы. Иначе говоря случайная величина <math>\xi</math> называется независимой от величины <math>\ | + | '''Независимые случайные величины''' - <math> \xi </math> и <math>\eta</math> называются независимыми, если для <math>\forall \alpha </math> и <math>\beta \in \mathbb R</math> события <math> \xi \leqslant \alpha</math> и <math> \eta \leqslant \beta</math> независимы. Иначе говоря, случайная величина <math>\xi</math> называется независимой от величины <math>\eta</math>, если вероятность получить при измерениях некоторое значение величины <math>\xi</math> не зависит от значения величины <math>\eta</math>. |
== Замечание == | == Замечание == | ||
| Строка 8: | Строка 8: | ||
== Примеры == | == Примеры == | ||
| − | === Честная | + | === Честная игральная кость === |
Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <math>\Omega</math> = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. <math>\xi</math> и <math>\eta</math> - случайные величины. <math>\xi</math>(i) = i % 2, <math>\eta</math>(i) = [i <math>\geqslant</math> 4]. Пусть <math>\alpha</math> = 0, <math>\beta</math> = 0. Тогда P(<math>\xi \leqslant</math> 0) = 1/2, P(<math>\eta \leqslant</math> 0) = 1/2, P((<math>\xi \leqslant</math> 0)<math>\cap</math>(<math>\eta \leqslant</math> 0)) = 1/4. Эти события независимы, а значит случайные величины <math>\xi</math> и <math>\eta</math> независимы. | Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <math>\Omega</math> = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. <math>\xi</math> и <math>\eta</math> - случайные величины. <math>\xi</math>(i) = i % 2, <math>\eta</math>(i) = [i <math>\geqslant</math> 4]. Пусть <math>\alpha</math> = 0, <math>\beta</math> = 0. Тогда P(<math>\xi \leqslant</math> 0) = 1/2, P(<math>\eta \leqslant</math> 0) = 1/2, P((<math>\xi \leqslant</math> 0)<math>\cap</math>(<math>\eta \leqslant</math> 0)) = 1/4. Эти события независимы, а значит случайные величины <math>\xi</math> и <math>\eta</math> независимы. | ||
Версия 00:02, 24 декабря 2010
Содержание
Определение
Независимые случайные величины - и называются независимыми, если для и события и независимы. Иначе говоря, случайная величина называется независимой от величины , если вероятность получить при измерениях некоторое значение величины не зависит от значения величины .
Замечание
Стоить отметить, что если и - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай = , = . Но не достаточно рассматривать случай = . Покажем контр-пример для этого случая. Рассмотрим вероятностное пространство честная монета. = {0, 1}. Пусть (i) = i, (i) = i + 2. Если перебрать все значения ( = ), то можно показать, что события независимы. Но сами случайные величины не являются независимыми.
Примеры
Честная игральная кость
Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. и - случайные величины. (i) = i % 2, (i) = [i 4]. Пусть = 0, = 0. Тогда P( 0) = 1/2, P( 0) = 1/2, P(( 0)( 0)) = 1/4. Эти события независимы, а значит случайные величины и независимы.
Пример Берншейтна
Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. Событие А (соответственно, B, C) означает, что выпала грань, содержащая красный (соответственно, синий, зелёный) цвета. Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань из четырёх содержит два цвета. А так как 1/4 = 1/2 • 1/2, то все события попарно независимы. Но вероятность пересечения всех трёх тоже равна 1/4, а не 1/8, т.е. события не являются независимыми в совокупности.
Литература и источники информации
Википедия http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node13.html
