Изменения
→Связывающие коэффициенты и тождества
== Связывающие коэффициенты и тождества ==
Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом [[Lah numbers]] и суммами для интегральных степеней переменной <tex>x</tex> с привлечением [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]] в следующих формах, в которых <texdpi=150>\binom{r}{k} = r^{\underline{k}} / k!</tex>:
<ref name="Introduction to the factorials and binomials">[http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/ Wolfram Functions Site {{---}} Introduction to the factorials and binomials]</ref>
:<texdpi=150>\begin{align}x^{\underline{n}} & = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k \\</tex> & :<tex dpi=150> = (-1)^n (-x)_n = (x-n+1)_n = \frac{1}{(x+1)^{\overline{-n}}} \\ </tex>:<tex dpi=150> (x)_n & = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (n-1)^{\underline{n-k}} \times x^{\underline{k}} \\ </tex> & :<tex dpi=150> = (-1)^n (-x)^{\underline{n}} = (x+n-1)^{\underline{n}} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{-n}}} \\ </tex> & :<tex dpi=150> = \binom{-x}{n} (-1)^n n! \\ </tex> & :<tex dpi=150> = \binom{x+n-1}{n} n! \\ </tex>:<tex dpi=150> x^n & = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} \\ </tex> & :<tex dpi=150> = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. \end{align} </tex>
Так как убывающие факториалы - базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:
:<texdpi=150>(x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.</tex>
Коэффициенты <texdpi=150>(x)_{m+n-k}</tex> называются ''' связывающими коэффициентами''' (англ. ''connection coefficients''). Они имеют комбинаторную интерпретацию как число способов объединить <texdpi=150>k</tex> элементов из множеств размера <texdpi=150>m</tex> и <texdpi=150>n</tex>. Так же есть связывающая формула для отношения двух символов Похгаммера:
:<texdpi=150>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geq i. </tex>
Additionally, we can expand generalized exponent laws and negative rising and falling powers through the following identities:
:<texdpi=150>x^{\underline{m+n}} & = x^{\underline{m}} (x-m)^{\underline{n}}</tex>:<texdpi=150>(x)_{m+n} & = (x)_m (x+m)_n</tex>:<texdpi=150>(x)_{-n} & = \frac{1}{(x-n)_n} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{n}}}</tex> :<texdpi=150>x^{\underline{-n}} & = \frac{1}{(x+1)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}</tex>
Finally, [[duplication formula|duplication]] and [[multiplication formulas]] for the rising factorials provide the next relations:
:<texdpi=150>(x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} </tex> :<texdpi=150>(ax+b)_n = x^n \prod_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k}{x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+} </tex> :<texdpi=150>(2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n. </tex>
==Альтернативные формы записи==
