32
правки
Изменения
Нет описания правки
В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Сам Лео Август Похгаммер для себя использовал <tex>(x)^n</tex> в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента <tex>\tbinom xn</tex>.
Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу инъективных отображений<ref name="Injective function">[https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function инъективных отображенийInjective function] </ref> из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>x</tex> {{---}} переменная, то есть <tex>(x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> от <tex>x</tex>.
Другие формы записи убывающего факториала: <tex>P(x,n)</tex>, <tex>^x P_n</tex>, ,<tex>P_{x,n}</tex> или <tex>_x P_n</tex>.
Другое обозначение растущего факториала <tex>x^{(n)}</tex> реже встречается, чем <tex>(x)^+_n</tex>. Обозначение <tex>(x)^+_n</tex> используется для растущего факториала, запись <tex>(x)^-_n</tex> обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.<ref name=Knuth>According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. <tex>1</tex>, <tex>3</tex>rd ed., p. <tex>50</tex>.</ref>
[[File:RisingFactorial_2.png|401px|thumb|upright|График растущего факториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]
==Примеры==
[[File:RisingFactorialPlotThePochhammerSymbolExample.gifpng|401px|thumb|upright|График растущего убывающего факториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]
Несколько первых растущих факториалов:
:<tex>x^{(0)}=x^{\overline0}=1 </tex>
Так как убывающие факториалы {{---}} базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:
:<tex dpi=150>(x)_m (x)_n = \sum_sum\limits_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.</tex>
{{Определение
|definition=
Коэффициенты <tex dpi=150>(x)_{m+n-k}</tex> называются ''' связывающими коэффициентами''' (англ. ''connection coefficients''). Связывающие коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию как число способов объединить <tex dpi=150>k</tex> элементов из множеств размера <tex dpi=150>m</tex> и <tex dpi=150>n</tex>.
}}
===Биномиальный коэффициент===
:<tex dpi=150>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x-i)_{n-i},\ n \geqslant i. </tex>
Кроме того, мы можем развернуть экспоненты и выразить убывающие факториалы какследующим образом:
:<tex dpi=150>x^{\underline{m+n}} = x^{\underline{m}} (x-m)^{\underline{n}}</tex>
====Числа Стирлинга второго рода====
Убывающий и растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]]:
<tex dpi=150> x^n = \sum_sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} </tex>:<tex dpi=150> = \sum_sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. </tex>
====Числа Лаха====
Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом [[wikipedia:Lah number|числами Лаха]]:<ref name="Introduction to the factorials and binomialsLah numbers">[httphttps://functionsen.wolframwikipedia.comorg/GammaBetaErfwiki/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/ Wolfram Functions Site {{---}} Introduction to the factorials and binomialsLah_number Lah numbers]</ref>:
{{Утверждение
|id=
|author=
|about=
|statement=<tex dpi=150> x^{(n)} = \sum_sum\limits_{k=1}^n (L(n,k) \times (x)_k) = \sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k ) </tex>
|proof=
Заметим, что <tex dpi=150>(x)_k=0</tex> при <tex dpi=150>x<k</tex>, поэтому слагаемые из суммы в правой части, начиная с <tex dpi=150>k=m</tex>, равны нулю, то есть::<tex dpi=150>\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k)=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k)</tex>Подставим целое <tex dpi=150>m</tex> из отрезка <tex dpi=150>[0;n]</tex>, тогда получим (будем считатьзаметим, что <tex dpi=150>(-1x)!_k=0</tex> при <tex dpi=150>x<k</tex> равно бесконечности)::<tex dpi=150>\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!}=\sum_sum\limits_{k=1}^{min(m,n )} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{n!}{k!}\times\frac{m!}{(m-k)!})</tex>Поделим обе части на <tex dpi=150>n!</tex>и получим, что левая часть равна::<tex dpi=150>\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!n!}=\frac{(n+m-1)!}{((n+m-1)-n)!n!}=\binom{n+m-1}{n}</tex>а из правой части уберём слагаемыеправая часть будет равна: <tex dpi=150>\sum\limits_{k=1}^{min(m, равные нулюn)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{1}{k!}\times\frac{m!}{(m-k)!})=\sum\limits_{k=1}^{min(m, n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{m!}{k!(m-k)!})</tex>:<tex dpi=150>=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1}\times\binom{m}{k} получим)</tex>То есть мы хотим теперь доказать тождество: :<tex dpi=150>\binom{n+m-1}{n}=\sum_sum\limits_{k=1}^{min(m,kn)} (\binom{n-1}{n-k}\times\binom{m}{k})</tex>
Это тождество очевидно из комбинаторики, так как обе части равны числу способов выбрать из <tex dpi=150>n+m-1</tex> элементов, разделённых на два множества по <tex dpi=150>n-1</tex> и <tex dpi=150>m</tex> элементов, <tex dpi=150>n</tex> элементов. С одной стороны нельзя не признать, что это левая часть тождества по определению сочетания. С другой стороны нельзя не согласиться, что это правая часть тождества, в котором <tex dpi=150>k</tex> означает количество элементов, берущихся из множества размера <tex dpi=150>m</tex>.
Многочлены, стоящие в левой и правой частях тождества, оказались равны в <tex dpi=150>n+1</tex> точке и при этом имеют степень не больше <tex dpi=150>n</tex>, то есть они формально совпадают, что и требовалось доказать.
}}
|statement=<tex dpi=150>x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}</tex>
|proof=
<tex dpi=150>\Gamma(x) = x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}</tex> {{---}} по определениюдля вещественного <tex dpi=150>x</tex>. Значит,
<tex dpi=150>\Gamma(x+n) = (x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x+n\}</tex>
<tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x\}}{(x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x\}}</tex>
:<tex dpi=150>=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots(x)=x^{(n)}</tex>, что и требовалось доказать.
}}
<tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}}{(x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x\}}</tex>
:<tex dpi=150>=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=(x)_n</tex>, что и требовалось доказать.
}}
==Обобщения==
Обобщенный символ Похгаммера называется обобщённый символ Похгаммера<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Pochhammer_symbol обобщённый символ ПохгаммераGeneralized Pochhammer symbol]</ref>, используемый в многомерном математическом анализе. Также существует ''q''-аналог<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-analog ''q''-аналогanalog] </ref> {{---}} ''q''-Похгаммер символ<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol ''q''-Похгаммер символPochhammer symbol]</ref>.
Обобщение убывающего факториала, в которой функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются как:
