32
правки
Изменения
Нет описания правки
При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).
В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Сам Лео Август Похгаммер для себя использовал <tex>(x)^n</tex> в другом смысле {{- --}} для обозначения биномиального коэффициента <texdpi=150>\tbinom xn</tex>.
Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу инъективных отображений<ref name="Injective function">[https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function Injective function]</ref> из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>x</tex> {{---}} переменная, то есть <tex>(x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> от <tex>x</tex>.
Другое обозначение растущего факториала <tex>x^{(n)}</tex> реже встречается, чем <tex>(x)^+_n</tex>. Обозначение <tex>(x)^+_n</tex> используется для растущего факториала, запись <tex>(x)^-_n</tex> обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.<ref name=Knuth>According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. <tex>1</tex>, <tex>3</tex>rd ed., p. <tex>50</tex>.</ref>
[[File:RisingFactorial_2RisingFactorial_3.pngjpg|401px|thumb|upright|График растущего факториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]
==Примеры==
[[File:PlotThePochhammerSymbolExamplePlotThePochhammerSymbolExample_02.png|401px|thumb|upright|График убывающего факториала для <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>4</tex>]]
Несколько первых растущих факториалов:
:<tex>x^{(0)}=x^{\overline0}=1 </tex>
Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:
:<tex dpi=150>\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad </tex> и <tex dpi=150>\frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</tex>
Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для убывающих и растущих факториалов.
Растущий факториал может быть выражен как убывающий факториал, начинающийся с другого конца,
:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,</tex>
или как убывающий с противоположным аргументом,
:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .</tex>
Отношение двух символов Похгаммера определяется как:
:<tex dpi=150>(x)_{-n} = \frac{1}{(x-n)_n} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{n}}}</tex>
:<tex dpi=150>x^{\underline{-n}} = \frac{1}{(x+1)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}</tex>
====Числа Стирлинга первого рода====
Растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи [[Числа Стирлинга первого рода|чисел Стирлинга первого рода]]<ref>[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Числа_Стирлинга_первого_рода Числа Стирлинга первого рода, применение]</ref>:
:<tex dpi=150>(x)^{n} = \sum\limits_{k=1}^n s(n,k) x^k</tex>
====Числа Стирлинга второго рода====
Убывающий и растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]]<ref>[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Числа_Стирлинга_второго_рода Числа Стирлинга первого рода, переход от базиса обычных степеней к базису убывающих факториальных степеней]</ref>:
<tex dpi=150> x^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} </tex>
:<tex dpi=150> = \sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. </tex>
====Числа Лаха====
|statement=<tex dpi=150>x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}</tex>
|proof=
:<tex dpi=150>\Gamma(xz+1) = x(x-1)z\Gamma(x-2z)\cdots\{x\}</tex> {{---}} для вещественного комплексного <tex dpi=150>xz</tex><ref name=Gammaproof>[Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М: ГИФМЛ, <tex>1959</tex>. – страница <tex>118</tex>]</ref>. Значит, это тождество верно и <tex dpi=150>\Gamma(z=x+n) </tex>, где <tex dpi= (150>x+n</tex> {{-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x+n\}</tex>} вещественное число. То есть::<tex dpi=150>=\Gamma(x+n-1)= (x+n-21)\Gamma(x+n-31)\cdots\</tex> {{---}} для вещественного <tex dpi=150>x\}</tex>.Заметим тогда, что:
<tex dpi=150>\Gamma(x+n) = ((x+n)-1)\cdot\Gamma((x+n)-21) = ((x+n)-1)(x+n-32)\cdotscdot\{Gamma((x+n)-1\}2)</tex>:<tex dpi=150>= \cdots =((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots((x+n)-n)\cdot\Gamma((x+n)-n)</tex>:<tex dpi=150>= ((x+n)-1)((x+n)-32)\cdotsx\{cdot\Gamma(x\})</tex>
<tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+1n)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{((x+n)-1)((x+n)-2)(x+n-3)\cdotsx\{xcdot\}}{Gamma(x-1)(x-2)}{\Gamma(x-3)\cdots\{x\}}</tex>:<tex dpi=150>=(x+n-1)(x+n-2)\cdots x = x(x+n-31)\cdots(x+n-1)=x^{(n)}</tex>.
}}
|statement=<tex dpi=150>(x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}</tex>
|proof=
:<tex dpi=150>\Gamma(xz+1) = xz\Gamma(xz)</tex> {{---1)(}} для комплексного <tex dpi=150>z</tex><ref name=Gammaproof/>.Значит, это тождество верно и <tex dpi=150>z=x-2)\cdots\{</tex>, где <tex dpi=150>x\}</tex> {{---}} по определениювещественное число. Значит,То есть::<tex dpi=150>\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)</tex> {{--1)(x-2)\cdots\{}} для вещественного <tex dpi=150>x\}</tex>.Заметим тогда, что:
<tex dpi=150>\Gamma(x-n+1) = x\cdot\Gamma(x-n+1)(= x-n-2)(x-n-31)\cdotscdot\{Gamma(x-n+1\})</tex>:<tex dpi=150>=\cdots = x(x-n+1)\cdots(x-n-2+1)\cdot\Gamma(x-n-3+1)\cdots\{x\}</tex>
<tex dpi=150>\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}}{(x-n+1)\cdot\Gamma(x-n-2+1)}{\Gamma(x-n-3+1)\cdots\{x\}}</tex>:<tex dpi=150>=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=(x)_n</tex>.
}}
==Обобщения==
Обобщенный символ Похгаммера называется обобщённый символ Похгаммера<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Pochhammer_symbol Generalized Pochhammer symbol]</ref>, используемый в многомерном математическом анализе. Также существует ''<tex>q''</tex>-аналог<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-analog ''q''-analog]</ref> {{---}} ''<tex>q''</tex>-Похгаммер символ<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol ''q''-Pochhammer symbol]</ref>.
Обобщение убывающего факториала, в которой функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются как:
