286
правок
Изменения
→Функция распределения
'''Функция распределения случайной величины''' (англ. ''cumulative distribution function (CDF)'') {{---}} функция <tex>F(x)</tex>, определённая на <tex>\mathbb{R}</tex> как <tex>P(\xi < x)</tex>, т.е. выражающая вероятность того, что <tex>\xi</tex> примет значение, меньшее чем <tex>x</tex> }}
Если случайная величина <tex>\xi</tex> дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией <tex>\mathbb{P}(\xi = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots</tex> Функция распределения <math>F(x)</math> этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как <tex>F(x) = \sum\limits_{i:~x_i \leqslant x} p_i</tex>. Свойства функции распределениядискретной случайной величины:
*<tex>F(x_1)\leqslant F(x_2)</tex> при <tex>x_1 \leqslant x_2;</tex>
*<tex>F(x)</tex> непрерывна слева во всех точках <tex>\forall x \in \mathbb{R};</tex>, таких что <tex>\forall i ~ x \ne x_i </tex>, и имеет разрыв первого рода в точках, таких что <tex>\forall i ~ x = x_i</tex>.
*<tex>\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1</tex>.
===Примеры===
#Найдем функцию распределения количества попаданий в мишень. Пусть у нас есть <tex>n</tex> выстрелов, вероятность попадания равна <tex>p</tex>. Необходимо найти <tex>F(k)</tex>. Для <tex>k \leqslant 0 ~ F(xk) = 0</tex>, так как нельзя попасть в мишень отрицательное число раз. Для <tex>k > 0 ~ F(xk) = \sum\limits_{i = 0}^{\lfloor k \rfloor - 1}\dbinom{n}{i}p^{i} (1-p)^{\lfloor k \rfloor - i}</tex>
#Аналогичное решение имеет функция распределения числа выпавших орлов при броске монеты, если шанс выпадения орла {{---}} <tex>p</tex>.
#Найдем функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости. Пусть у нас есть вероятности выпадения чисел <tex>1 \ldots 6</tex> соответственно равны <tex>p_{1} \ldots p_{6}</tex>. Для <tex>k \leqslant 1 ~ F(xk) = 0</tex>, так как не может выпасть цифра меньше <tex>1</tex>. Для <tex>k > 1 ~ F(xk) = \sum\limits_{i = 1}^{\lfloor k \rfloor - 1}p_{i}</tex>
==Функция плотности распределения вероятностей==
