Изменения

|definition=Матрицу <tex>Q</tex> называют '''непоглощающей'''Поглощающая цепь (англ. ''not-absorbing chain)''' - ), если она не содержит поглощающих состояний. То есть <tex>q_{ii} \neq 1, \forall i </tex>}} {{Определение|definition=Стохастическую матрицу с <tex>r</tex> [[Марковская цепь#Поглощающая цепь|Марковская цепьпоглощающими состояниями]] такаяи <tex>t</tex> непоглощающими, что из любого состояния достижимо поглощающее. можно перевести в '''каноническую форму''Поглощающее состояние'(англ. '' - состояние цепиcanonical form''):<tex>P = \begin{pmatrix}Q & R \\ 0 & I\end{pmatrix}</tex> , где <tex>I</tex> — единичная матрица (<tex>r \times r</tex>), войдя в которое однажды<tex>0</tex> — нулевая матрица (<tex>r \times t</tex>), нельзя выйти<tex>R</tex> — ненулевая поглощающая матрица (<tex>t \times r</tex>) и <tex>Q</tex> — непоглощающая (<tex>t \times t</tex>). Первые <tex>t</tex> состояний переходные и последние <tex>r</tex> состояний поглощающие.

|statement=Если цепь поглощающая, то с вероятностью, равной <tex>1</tex>, она перейдет в [[Марковская цепь#Поглощающая цепь№|поглощающее состояние]].

Пусть <tex>P</tex> - — [[Марковская цепь|матрица переходов]], где элемент <tex>p_{ij}</tex> равен вероятности перехода из <tex>i</tex>-го состояния в <tex>j</tex>-ое. Она будет выглядеть как матрица из 4-х блоков, где <tex>Q</tex> - непоглощающие состояния, а <tex>R</tex> и <tex>I</tex> - поглощающие (т.к. цепь поглощающая, то из любого непоглощающего можно попасть Приведем ее в поглощающее). <tex>I</tex> - единичная матрица.каноническую форму:

Пусть вектор <tex>c^{(t)}</tex> - — вектор вероятности нахождения на шаге <tex>t</tex>.

Произведение единичной матрицы на саму себя есть единичная матрица (<tex>I \times I = I</tex>); <tex>X</tex> - — некоторые значения (не важны для доказательства теоремы, т.к. так как чтобы доказать теорему достаточно доказать, что непоглощающие состояния стремятся к 0).

Продолжив вычисления, получим, что <tex>P^n</tex> имеет такой следующий вид: <tex>\begin{pmatrix}

Рассмотрим путь из <tex>i</tex>-го состояния в поглощающее, равное состояние <tex>m_ij</tex>. Пусть мы совершили <tex>p<1m</tex> - вероятность того, что через шагов из состояния <tex>m_ii</tex> шагов из шага , тогда обозначим <tex>ip_{m}</tex> не попадет — вероятность попасть в поглощающее состояние.Пусть <tex>m = max(m_i)j</tex>за такое количество шагов. Заметим, а что <tex>p = max(p_i)p_{m} < 1</tex>

Тогда получаемТеперь обобщим в большую сторону для любого количества шагов: пусть <tex>p = \sum_max(p_{jm} {Q^m_{ij}}\leqslant )< 1</tex>. В таком случае <tex>p</tex> — наибольшая вероятность попасть в поглощающее состояние <tex>\Rightarrowj</tex> , совершив при этом не более чем <tex>\sum_{j} {Q^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0m</tex>шагов.

Тогда вероятность перехода в состояние <tex>j</tex> на шаге <tex>m</tex> равна <tex>p_{m} = \sum\limits_{j} {q^{m}_{ij}}</tex>, где <tex>q_{ij}^{m}</tex> — элемент матрицы <tex>Q^{m}</tex>.  В то же время, <tex>\sum\limits_{j} {q^m_{ij}}\leqslant p</tex> потому что <tex>p_{m} \leqslant p, \forall m</tex> по условию обозначения <tex>p</tex>. Возведем обе части в степень <tex>k \rightarrow \infty</tex>, получим: <tex>\sum\limits_{j} {q^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0</tex> В итоге получаем, что непоглощающие состояния стремятся к <tex>0</tex>, а значит поглощающие в итоге приходят к <tex>1</tex>, т.е. то есть цепь приходит в поглощающее состояние.