1679
правок
Изменения
м
Рассмотрим Для n = 1, удовлетворяют DM <tex> p_1. p_1 = <x, x, x> </tex>. Для n = 2, удовлетворяют DM <tex> p_1, p_2. p_1 = <x, x, y>. p_2 = <x, y, y></tex>. Для n = 3, удовлетворяют DM <tex> p_1, p_2, p_3 </tex> и собственно медиана. <tex> p_1 = <x, x, y>, p_2 = <x, y, y> , p_3 = <x, z, z> </tex>. Теперь рассмотрим произвольную монотонную самодвойственную функцию <tex> f : \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B} </tex>. Пусть для '''n > 3, тогда обозначим '''. Обозначим аргументы <tex> x_4, x_5 \dots x_n </tex> за <tex> \bar x </tex>, то есть <tex> f(x_1, x_2, x_3, x_4 \dots x_n) = f(x_1, x_2, x_3, \bar x) </tex>. Тогда введем три функции от n - 1 аргумента:
hell yeah!
Задача из ДЗ №2. Доказать, что любую монотонную самодвойственную функцию(self-'''D'''ual, '''M'''onotone), можно представить с использованием медианы.
: <tex> f_1(x, y, \bar x) = f(x, y, y, \bar x) </tex>
: <tex> f_2(x, y, \bar x) = f(y, x, y, \bar x) </tex>
: <tex> f_3(x, y, \bar x) = f(y, y, x, \bar x) </tex>
Очевидно, они также самодвойственны и монотонны из определенияf, и f можно выразить одной из функций <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>, так как 2 из 3 аргументов точно совпадут. Теперь выразим f через <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>:
: <tex> f(x_1 \dots x_n) = <f_1(x_1, x_2, \bar x), f_2(x_2, x_3, \bar x), f_3(x_3, x_1, \bar x)> </tex>
Докажем, что это так. Для удобства обозначений пусть <tex> x_1 = a, x_2 = b, x_3 = c </tex>. Тогда есть несколько случаев:
*: <tex> f = f(a, a, c, \bar x). f_1 = f(a, a, a, \bar x), f_2 = f(c, a, c, \bar x), f_3 = f(a, a, c, \bar x). </tex> Получили 2 случая:
** <tex> a = b = 0, c = 1. </tex>
**: Тогда можно упорядочить <tex> f_1, f_2, f_3 </tex> по возрастанию наборов их переменных(используя свойство их монотонности):
**: <tex> f(0, 0, 0, \bar x) \le f(0, 0, 1, \bar x) \le f(1, 0, 1, \bar x) </tex>. Так как <tex> f(0, 0, 1, \bar x) </tex> - между остальными, то оно и будет медианой <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>.
** <tex> a = b = 1, c = 0 </tex>. Доказывается аналогично.
* <tex> a = c \ne b </tex> - симметричный случай.
* <tex> b = c \ne a </tex> - симметричный случай.
Все!
P.S. У меня такое чувство, что классу DM принадлежат только проекторы и их комбинации(точнее, дизъюнкция попарных конъюнкций). Если представить вектора значений аргументов в виде n - мерного куба, то если функция на всех его гранях, содержащих вершину <tex> (1 \dots 1) </tex>, будет равна 1, то на противоположной грани, везде будет 0. Это для проекторов. А дизъюнкция попарных конъюнкций проекторов - попарные пересечения граней, то есть все ребра n-мерного куба, содержащие вершину <tex> (1 \dots 1) </tex>. Такая функция также будет самодвойственной и монотонной. Не знаю только как более математически это обосновать.
