Определение суммы числового ряда

Определение:

[math]\sum\limits_{k=1}^\infty a_k = a_1 + a_2 + a_3 \ldots[/math] — числовой ряд

Для ряда должно выполняться несколько свойств:

• Если начиная с какого-то [math]n[/math] все [math]a_k[/math], [math]k \gt n[/math] равны нулю, то [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty = \sum\limits_{k = 1}^n[/math].
• Линейность ряда: [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k + \beta\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k[/math].

То, каким правилом определяется сумма ряда, называется способом суммирования.

Классическийц способ суммирования: [math]S_n = \sum\limits_{k = 1}^n a_k[/math] — частичные суммы ряда.

Определение:

[math]\lim\limits_{n\to\infty} S_n[/math] — сумма числового ряда. Если этот предел существует и конечен, то ряд называют сходящимся, иначе — расходящийся.

Сумму ряда обычно обозначают так же, как и ряд: [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k = \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k = 1}^n a_k[/math].

Из арифметики предела становится ясно, что:

• [math]S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1}[/math]
• [math]S_n \to S \Rightarrow a_n \to 0[/math]

Утверждение:

Если ряд сходится, то его слагаемые необходимо стремятся к нулю. Однако, это требование лишь необходимое

[math]\triangleright[/math]

Переписывая на языке частичных сумм критерий Коши существования предела последовательности, приходим к критерию Коши сходимости ряда: [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty[/math] — сходится [math]\iff[/math] [math]\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k \xrightarrow[n,p\to \infty]{} 0[/math]. Это видно из равенства [math]S_{n + p} - S_{n - 1} = \sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Заметим, что [math]S_n = \sum\limits_{k = 1}^p a_k + \sum\limits_{k = p + 1}^n a_k[/math], где [math]p[/math] — ограничено, [math]n \to \infty[/math].

Значит, [math]S_n[/math] и [math]\sum\limits_{k = p+1}^n[/math] равносходятся.

Вывод: на сходимость конечное число слагаемых не влияет. Однако, очевидно, они вляют на значение суммы.