B+-дерево

[math]B^{+}[/math]-дерево (англ. [math]B^{+}[/math]-tree) — структура данных на основе B-дерева, сбалансированное [math]n[/math]-арное дерево поиска с переменным, но зачастую большим количеством потомков в узле. [math]B^{+}[/math]-деревья имеют очень высокий коэффициент ветвления (число указателей из родительского узла на дочерние, обычно порядка [math]100[/math] или более), что снижает количество операций ввода-вывода, требующих поиска элемента в дереве.

Отличия от B-дерева

В [math]B[/math]-дереве во всех вершинах хранятся ключи вместе с сопутствующей информацией. В [math]B^{+}[/math]-деревьях вся информация хранится в листьях, а во внутренних узлах хранятся только копии ключей. Таким образом удается получить максимально возможную степень ветвления во внутренних узлах. Кроме того, листовой узел может включать в себя указатель на следующий листовой узел для ускорения последовательного доступа, что решает одну из главных проблем [math]B[/math]-деревьев.

Структура

Свойства [math]B^{+}[/math] дерева аналогичны свойствам [math]B[/math]-дерева (с учетом отличий описанных выше).

Структура узла

struct Node
   bool leaf       // является ли узел листом
   int  key_num    // количество ключей узла
   int  key[]      // ключи узла
   Node parent     // указатель на отца
   Node child[]    // указатели на детей узла
   Info pointers[] // если лист — указатели на данные
   Node left       // указатель на левого брата
   Node right      // указатель на правого брата

Структура дерева

struct BPlusTree
   int  t          // минимальная степень дерева
   Node root       // указатель на корень дерева

Оценка высоты дерева

Теорема:

Если [math]n \geqslant 1[/math], то для [math]B^{+}[/math]-дерева c [math]n[/math] узлами и минимальной степенью [math]t \geqslant 2[/math] высота [math]h \leqslant \log_t\dfrac{n}{2} + 1[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Так как [math]n \geqslant 1[/math], то корень [math]B^{+}[/math]-дерева [math]T[/math] содержит хотя бы один ключ, а все остальные узлы — хотя бы [math]t - 1[/math] ключей. [math]T[/math] имеет хотя бы [math]2[/math] узла на высоте [math]1[/math], не менее [math]2t[/math] узлов на глубине [math]2[/math], и так далее. То есть на глубине [math]h[/math], оно имеет хотя бы [math]2t^{h-1}[/math] узлов. Так как сами ключи хранятся только в листах, а во внутренних вершинах лишь их копии, то для [math]n[/math] ключей [math]n \geqslant 2t^{h-1}[/math] [math]t^{h-1} \leqslant \dfrac{n}{2}[/math] [math]h-1 \leqslant \log_t\dfrac{n}{2}[/math] [math]h \leqslant \log_t\dfrac{n}{2} + 1[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Как можно заметить, высота [math]B^{+}[/math]-дерева не более чем на [math]1[/math] отличается от высоты [math]B[/math]-дерева, то есть хранение информации только в листах почти не ухудшает эффективность дерева

Операции

[math]B^{+}[/math]-деревья являются сбалансированными, поэтому время выполнения стандартных операций в них пропорционально высоте, то есть [math]O(\log n)[/math]. Однако стоит заметить, что так как степень дерева зачастую выбирается большой, константа при выполнении операций тоже большая. Это связано с большим количеством ключей в узлах, которые необходимо сравнить. Но из-за небольшой высоты дерева это не сильно сказывается на скорости работы.

Поиск листа

Напишем вспомогательную функцию, которая будет возвращать лист, в котором должен находится переданный ей ключ. Определяем интервал и переходим к соответствующему сыну. Повторяем пока не дошли до листа.

Node find_leaf(T: BPlusTree, key: int):
    cur = T.root
    while cur.leaf [math]\neq[/math] true
        for i = 0 to cur.key_num
            if i == cur.key_num or key < cur.key[i]
                cur = cur.child[i]
                break
    return cur

Поиск

Находим нужный лист через [math]find[/math]_[math]leaf[/math] и ищем нужный ключ в нем

Добавление ключа

Ищем лист, в который можно добавить ключ и добавляем его в список ключей. Если узел не заполнен, то добавление завершено. Иначе разбиваем узел на два узла. Будем считать, что в дереве не может находиться [math]2[/math] одинаковых ключа, поэтому [math]insert[/math] будет возвращать был ли добавлен ключ.

bool insert(T: BPlusTree, key: int, value: Info):
    leaf = find_key(T, key)
    if key [math]\in[/math] leaf
        return false  
    
    // Ищем позицию для нового ключа 
    pos = 0
    while pos < leaf.key_num and leaf.key[pos] < key
        ++pos
      
    // Вставляем ключ
    for i = leaf.key_num downto pos + 1 
        leaf.key[i] = leaf.key[i - 1]
        leaf.pointers[i] = leaf.pointer[i - 1]
    leaf.key[pos] = key
    leaf.pointers[pos] = value
    ++leaf.key_num
    
    if leaf.key_num == 2 * t              // t — степень дерева
        split(T, leaf)                   // Разбиваем узел
    return true

Разбиение узла

Разбиение на два узла происходит следующим образом: в первый добавляем первые [math]t[/math] ключей, во второй последние [math]t - 1[/math]. Если узел — лист, то оставшийся ключ также добавляется в правое поддерево, а его копия отправляется в родительский узел, где становится разделительной точкой для двух новых поддеревьев.

Если и родительский узел заполнен — поступаем аналогично, но не копируем, а просто перемещаем оставшийся перемещаем ключ в родительский узел, так как это просто копия. Повторяем пока не встретим незаполненный узел или не дойдем до корня. В последнем случае корень разбивается на два узла и высота дерева увеличивается.

Поскольку в родителя всегда отправляется минимальный ключ из второй половины, то каждый ключ, который хранится во внутренней вершине — это минимум правого поддерева для этого ключа.

void split(T: BPlusTree, node: Node):
    new_node = new_Node()                  //Создаем новый узел
    
    // Перенаправляем right и left указатели
    new_node.right = node.right
    node.right.left = new_node
    node.right = new_node
    new_node.left = node
    
    // Перемещаем t - 1 значений и соответствующих им указателей в new_node
    mid_key = node.key[t]
    new_node.key_num = t - 1
    node.key_num = t
    for i = 0 to new_node.key_num - 1
        new_node.key[i] = node.key[i + t + 1]
        new_node.pointers[i] = node.pointers[i + t + 1]  
        new_node.child[i] = node.child[i + t + 1]    
    new_node.child[new_node.key_num] = node.child[2 * t]  
    
    if node.leaf
        ++new_node.key_num
        new_node.leaf = true
        
        // Перемещаем в new_node оставшийся при разбиении элемент mid_key 
        for i = new_node.key_num - 1 downto 1
            new_node.key[i] = node.key[i - 1]
            new_node.pointers[i] = node.pointers[i - 1]
        new_node.key[0] = node.key[t]
        new_node.pointers[0] = node.pointers[0]
    
    if node == T.root
        T.root = new_Node()                  // Создаем новый корень T.root 
        T.root.key[0] = mid_key
        T.root.child[0] = node
        T.root.child[1] = new_node
        T.root.key_num = 1;
        node.parent = T.root
        new_node.parent = T.root
    else
        new_node.parent = node.parent
        parent = node.parent
        
        // Ищем позицию mid_key в отце 
        pos = 0
        while pos < parent.key_num and parent.key[pos] < mid_key
            ++pos
        
        // Добавляем mid_key в отца и направляем ссылку из него на new_node 
        for i = parent.key_num downto pos + 1 
            parent.key[i] = parent.key[i - 1]
        for i = parent.key_num + 1 downto pos + 2 
            parent.child[i] = parent.child[i - 1]
        parent.key[pos] = mid_key
        parent.child[pos + 1] = new_node
        ++parent.key_num
        
        if parent.key_num == 2 * t 
            split(T, parent)

Удаление

Поскольку все ключи находятся в листах, для удаления в первую очередь необходимо найти листовой узел, в котором он находится. Если узел содержит не менее [math]t - 1[/math] ключей, где [math]t[/math] — это степень дерева, то удаление завершено. Иначе необходимо выполнить попытку перераспределения элементов, то есть добавить в узел элемент из левого или правого брата (не забыв обновить информацию в родителе). Если это невозможно, необходимо выполнить слияние с братом и удалить ключ, который указывает на удалённый узел. Объединение может распространяться на корень, тогда происходит уменьшение высоты дерева. Так как мы считаем, что в дереве не может находиться [math]2[/math] одинаковых ключей, то [math]delete[/math] будет возвращать был ли удален ключ.

bool delete(T: BPlusTree, key: int):
    leaf = find_key(T, key)
    pos = 0
    if key [math]\notin[/math] leaf
        return false 
    else 
        delete_in_node(leaf, key)                    // Удалить ключ из вершины
        return true

void delete_in_node(tec: Node, key: int):
    if key [math]\notin[/math] tec
        return 
     
    // Ищем позицию удаляемого ключа 
    pos = 0
    while pos < tec.key_num and tec.key[pos] < key
        ++pos
     
    // Удаляем ключ
    for i = pos to tec.key_num - 1 
        tec.key[i] = tec.key[i + 1]
        tec.pointers[i] = tec.pointer[i + 1]
    for i = pos + 1 to tec.key_num 
        tec.child[i] = tec.child[i + 1]
    --tec.key_num
    
    if leaf.key_num < t - 1
        right_sibling = tec.right
        left_sibling = tec.left
        if left_sibling [math]\neq[/math] null and left_sibling.key_num > t - 1
            --left_sibling.key_num
            ++tec.key_num
     
            // Перемещаем максимальный из left_sibling ключ на первую позицию в tec 
            for i = 1 to tec.key_num - 1 
                tec.key[i] = tec.key[i - 1]
                tec.pointers[i] = tec.pointer[i - 1] 
                tec.child[i] = tec.child[i - 1]
            tec.child[tec.key_num] = tec.child[tec.key_num - 1]
            tec.key[0] = left_sibling.key[left_sibling.key_num]
            tec.pointers[0] = left_sibling.pointers[left_sibling.key_num]
            tec.child[0] = left_sibling.child [left_sibling.key_num + 1]
            
            update(tec)                                                        // Обновить ключи на пути к корню
        
        else if right_sibling [math]\neq[/math] null and right_sibling.key_num > t - 1
            --right_sibling.key_num
            ++tec.key_num
     
            // Перемещаем минимальный из right_sibling ключ на последнюю позицию в tec 
            tec.key[tec.key_num - 1] = right_sibling.key[0]
            tec.pointers[tec.key_num - 1] = right_sibling.child[0]
            tec.child[tec.key_num - 1] = right_sibling.pointers[0]
             
            update(tec)                                                        // Обновить ключи на пути к корню
         
        else
            if left_sibling [math]\neq[/math] null 
               
                // Сливаем tec и left_sibling
                for i = 0 to tec.key_num - 1
                    left_sibling.key[left_sibling.key_num] = tec.key[i]
                    left_sibling.pointers[left_sibling.key_num] = tec.pointers[i]
                    left_sibling.child[left_sibling.key_num + 1] = tec.child[i]
                    ++left_sibling.key_num
                left_sibling.child[left_sibling.key_num + 1] = tec.child[tec.key_num]
                 
                // Перенаправляем right и left указатели
                left_sibling.right = tec.right
                tec.right.left = left_sibling 
                
                update(left_sibling)                                                         // Обновить ключи на пути к корню
                delete_in_node(left_sibling.parent, min_key(tec))      // Удаляем разделительный ключ в отце
             
            else
                
                // Сливаем tec и right_sibling
                for i = 0 to tec.key_num - 1
                    tec.key[tec.key_num] = right_sibling.key[i]
                    tec.pointers[tec.key_num] = right_sibling.pointers[i]
                    tec.child[tec.key_num + 1] = right_sibling.child[i]
                    ++tec.key_num
                tec.child[tec.key_num + 1] = right_sibling.child[right_sibling.key_num]
                 
                // Перенаправляем right и left указатели
                right_sibling.right.left = tec 
                tec.right = right_sibling.right
                 
                update(tec)                                                         // Обновить ключи на пути к корню
                delete_in_node(tec.parent, min_key(right_sibling))       // Удаляем разделительный ключ в отце
             
        if T.root.key_num == 1
            T.root = T.root.child[0]

Где используется

Изначально структура предназначалась для эффективного поиска в блочно-ориентированной среде хранения — в частности, для файловых систем. Структура широко применяется в таких файловых системах, как NTFS, ReiserFS, NSS, JFS, ReFS. Различные реляционные системы управления базами данных, такие как Microsoft SQL Server, Oracle Database, SQLite используют [math]B^{+}[/math]-деревья для табличных индексов.

См. также

• B-дерево
• 2-3 дерево

Источники информации

• Д. Кнут «Искусство программирования. Сортировка и поиск», часть 6.2.4
• Wikipedia — B Plus tree
• Wikipedia — B tree
• B plus tree visualization