286
правок
Изменения
Нет описания правки
Дано [[Дерево, эквивалентные определения | дерево ]] <tex> G </tex> и набор запросов: пары вершин <tex>\langle v, u \rangle </tex>, и для . Для каждой пары нужно найти наименьшего общего предка. Считаем, что все запросы известны заранее, поэтому будем решать задачу оффлайн.Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из <tex>n</tex> вершин и <tex>m</tex> запросов за время <tex>O (n + m)</tex>, то есть при достаточно большом <tex>m</tex>, за <tex>O (1)</tex> на запрос.
== Алгоритм ==
Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из неё.
Ответ на каждый запрос мы найдём в течение поиска в глубину. Ответ для вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex> находится, когда мы уже посетили вершину <tex>u</tex>, а так же также посетили всех сыновей вершины <tex>v</tex>, и собираемся выйти из неё.
Зафиксируем момент: мы собираемся выйти из вершины <tex>v</tex> (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары <tex>\langle v</tex>, <tex>u \rangle</tex>.
Тогда заметим, что ответ {{---}} это либо вершина <tex>u</tex>, либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины , которые находятся "слева" от этого предка.
На рисунке разные цвета {{---}} разные непосещённые вершины раскрашены в белый цвет, а посещённые разбиты на классы, а белые вершины ещё не просмотренные в <tex>dfs</tex>каждому из которых соответствует свой цвет.
[[file:mytree.png|500px|разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]] Классы этих вершин не пересекаются, а значит , мы можем их можем эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]], которую будем хранить в массиве <tex>dsu</tex>. Будем поддерживать также массив <tex>lcaClass[1 \dots n]</tex>, где <tex> lcaClass[w] </tex> {{---}} наименьший общий предок всех вершин, которые лежат в том же классе, что и <tex> w </tex>. Обновление массива <tex> lcaClass </tex> для каждого элемента будет неэффективно. Поэтому зафиксируем в каждом классе какого-то представителя. Функция <tex> \mathrm{find}(w) </tex> вернёт представителя класса, в котором находится вершина <tex> w </tex>. Тогда наименьшим общим предком всех вершин из класса <tex> w </tex> будет вершина <tex> lcaClass[\mathrm{find}(w)] </tex>.
После того как мы обработали всех детей вершины <tex>v</tex>, мы можем ответить на все запросы вида <tex>\langle v, u \rangle </tex>, где <tex>u</tex> {{---}} уже посещённая вершина.
Нетрудно заметить, что <tex>lca(v, u) = ancestorlcaClass[\mathrm{find}(u)]</tex>. Для каждого запроса это условие (что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз. [[file:mytree.png|500px|разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]]
=== Реализация ===
'''bool''' visited[n]
'''function''' union(a x : '''int''', b y : '''int''', newAncestor : '''int'''): a leader = dsuGetdsuUnion(ax, y) b <font color= dsuGet(b)green> // объединяем классы вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex> и получаем нового представителя класса </font> dsu lcaClass[aleader] = b ancestor[b] newAncestor <font color= newAncestorgreen> // устанавливаем нового предка представителю множества </font>
<font color=green>// можно запустить от любой вершины дерева.в самый первый раз</font>
'''function''' dfs(v : '''int'''):
visited[v] = ''true'' lcaClass[v] = v
'''foreach''' u : (v, u) '''in''' G
'''if''' '''not''' visited[u]
dfs(u)
union(v, u, v)
'''for''' i = 0 '''to''' query[(u : <tex>\langle v].size , u \rangle </tex> {{--- 1}} есть такой запрос) '''if''' visited[query[v][i]u] запомнить, что ответ для запроса <tex>\langle v, u \rangle </tex> = ancestorlcaClass[dsuGetfind[q[v][i]u]]
== Корректность ==
== Оценка сложности ==
Она состоит из нескольких оценокчастей.
*Обход в глубину выполняет выполняется за <tex>O(n)</tex>.*Операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> затрачивают работают <tex>O (n)</tex> операцийвремени. Каждый запрос <tex>\langle v, u \rangle </tex> будет рассмотрен дважды {{---}} при посещении вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, но обработан лишь один раз, поэтому можно считать, что все запросы обработаются суммарно за <tex>O (m)</tex>.
*Для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных <tex>n</tex> выполняется за <tex>O (1)</tex>.
== Источники информации ==