286
правок
Изменения
Нет описания правки
Пусть исходный массив <tex>a</tex> состоит из <tex>n</tex> элементов. Для удобства построения увеличим длину массива <tex>a</tex> так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. <tex>2^k</tex>, где <tex>2^k \geqslant n</tex>. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы необходимо заполнить нейтральными элементами моноида. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив <tex>t</tex> из <tex>2^{k+1}</tex> элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой <tex>n+\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{4} \ldots +1 < 2n</tex>, где <tex>n=2^k</tex>. Таким образом, структура занимает линейную память.
Процесс построения дерева заключается в заполнении массива <tex>t</tex>. Заполним этот массив таким образом, чтобы <tex>i</tex>-й элемент являлся бы результатом некоторой бинарной операции (для каждой конкретной задачи своей) от элементов c номерами <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex>, то есть родитель являлся результатом бинарной операции от своих сыновей(обозначим в коде эту операцию как <tex> \circ </tex>). Один из вариантов — делать рекурсивно. Пусть у нас имеются исходный массив <tex>a</tex>, а также переменные <tex>\mathtt{tl}</tex> и <tex>\mathtt{tr}</tex>, обозначающие границы текущего полуинтервала. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков (<tex>i=0</tex>, <tex>\mathtt{tl}=0</tex>, <tex>\mathtt{tr}=n</tex>), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает в себя значение этого элемента массива (Для этого у нас есть исходный массив <tex> a </tex>). Асимптотика построения дерева отрезков составит, таким образом, <tex>O(n)</tex>.
Выделяют два основных способа построения дерева отрезков: построение снизу и построение сверху. При построении [[Реализация запроса в дереве отрезков снизу | снизу]] алгоритм поднимается от листьев к корню (Просто начинаем заполнять элементы массива <tex>t</tex> от большего индекса к меньшему, таким образом при заполнении элемента <tex> i </tex> его дети <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex> уже будут заполнены, и мы с легкостью посчитаем бинарную операцию от них), а при построении [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху | сверху]] спускается от корня к листьям. Особенные изменения появляются в реализации запросов к таким деревьям отрезков.
'''else'''
tm = (tl + tr) / 2 <font color=green>// середина отрезка</font>
t[i] = t[2 * i + 1] <tex> \circ </tex> t[2 * i + 2]
'''function''' treeBuild('''T''' a[]):
'''for''' i = 0 .. '''to''' n - 1
t[n - 1 + i] = a[i]
'''for''' i = n - 2 .. '''downto''' 0
t[i] = t[2 * i + 1] <tex> \circ </tex> t[2 * i + 2]
