Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости

Метод интересен прежде всего тем, что задачу о назначениях можно свести к задаче о поиске потока минимальной стоимости, и тогда эффективность решения задачи о назначениях будет определяться именно асимптотикой работы этого алгоритма.

Мотивация

Зачем нужно использовать потенциалы Джонсона?

Идея аналогична идее, использующейся в алгоритме Джонсона.

При поиске потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости нам требуется находить минимальный по стоимости поток из истока в сток. Это реализуется с помощью алгоритмов поиска кратчайшего пути в графе. Поскольку стоимость некоторых рёбер может быть отрицательной, нам приходится использовать алгоритм Форда-Беллмана. Однако гораздо эффективней было бы применить алгоритм Дейкстры для этой же цели, так как у него гораздо лучше асимптотика. Для этого нам надо перевзвесить рёбра графа.

Определение:

Пусть дана транспортная сеть [math]\,G(V,E)[/math], где [math]V[/math] — множество вершин графа, а [math]E[/math] — множество рёбер. Введем в каждой вершине потенциал [math]\,p_i[/math]. Тогда остаточная стоимость ребра [math]\,c_{p_{ij}}[/math] определяется как [math]\,c_{p_{ij}} = c_{ij} + p_i - p_j [/math]

Заметим, что сумма остаточных стоимостей ребер вдоль любого пути отличается от суммы стоимостей вдоль того же самого пути на разность между потенциалом первой и последней вершины.

Использование потенциалов Джонсона

Возьмём значения потенциалов в вершинах равными минимальному по цене расстоянию от стока до них или [math]+\infty[/math], если она недостижима. Так как [math]\,c_{ij} + p_i[/math] — это длина какого-то пути до вершины [math]\,j[/math], а [math]\,p_j[/math] — длина минимального пути, то [math]c_{p_{ij}} \geqslant 0[/math], что от нас и требовалось. Значения потенциалов найдём с помощью алгоритма Форда-Беллмана. Таким образом, нам его придётся запустить всего один раз, а не на каждом шаге алгоритма. Однако, после добавления потока вдоль кратчайшего увеличивающего пути в сети могут появиться новые ребра, равно как и исчезнуть старые, и будет необходимо пересчитать потенциалы, чтобы они оставались корректными, то есть [math]p_v[/math] - длина кратчайшего пути от истока в вершину [math]v[/math] в новой сети.

Для начала докажем, что в сети с корректными потенциалами [math]w_p(u, v) = 0[/math] для любого ребра [math](u, v)[/math], лежащего на пути [math]s \leadsto t[/math].

Реализация

Модифицируем псевдокод из статьи про поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости: НЕ ЧИТАЙТЕ, В РЕАЛИЗАЦИИ НАПИСАНА ПОЛНАЯ ЧУШЬ, после второй итерации, скорее всего, появятся ребра отрицательного веса

for [math]e \in E[/math] {
     [math]f[e] \leftarrow 0[/math]
}
Запустим алгоритм Форда-Беллмана, в результате для каждой вершины: [math]p[v] [/math] — расстояние [math]s \leadsto e[/math], 
если за длину ребра принимается его стоимость.
for [math]e \in E[/math] {
     [math]c[e] \leftarrow c[e] + p[e.from] - p[e.to][/math]
}
while (существует путь [math]s \leadsto t[/math] в остаточной сети [math]G_f[/math]) {
      Найти [math]P [/math] — кратчайший в смысле стоимости путь [math]s \leadsto t[/math] с помощью алгоритма Дейкстры
      дополнить поток [math]f[/math] вдоль [math]P[/math]
}

Асимптотика

Пусть все пропускные способности целочисленны. Метод целиком работает за [math]O(F(V, E) \cdot |f|)[/math], где [math]F(V, E)[/math] — время одной итерации.

Время, затраченное на одну итерацию, определяется скоростью поиска кратчайшего пути. Если для этой цели использовать алгоритм Дейкстры с Фиббоначевыми кучами, то поиск мы осуществим за [math]O(V \log V + E)[/math].

Не стоит так же забывать, что для расчёта потенциалов мы один раз запустили Алгоритм Форда-Беллмана. В результате получим время работы [math]O((V \log V + E) \cdot |f| + V E)[/math].

Это лучше, чем [math]O((V E) \cdot |f|)[/math], что получается при использовании алгоритма Форда-Беллмана для поиска кратчайшего пути на каждой итерации.

В применении к задаче о назначениях: пусть у нас есть [math]N[/math] назначений. Построим специальным образом граф. Искомый поток в нём имеет имеет мощность [math]N[/math]. Количество вершин — [math]O(N)[/math], рёбер — [math]O(N^2)[/math]. Итого получаем асимптотику [math]O(N^2 \log N + 2N^3) = O(N^3)[/math].

Литература

• Andrew V. Goldberg An Efficient implementation of a scaling minimum-cost flow algorithm - Journal of Algorithms, 1997