Арифметика чисел в b-ичной системе счисления (Длинная арифметика) — различия между версиями
Senya (обсуждение | вклад) м (Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии) |
Senya (обсуждение | вклад) м (Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии) |
||
Строка 5: | Строка 5: | ||
==Классическая длинная арифметика== | ==Классическая длинная арифметика== | ||
− | Основная идея "классической длинной арифметики"заключается в том, что число хранится в виде массива его цифр. | + | Основная идея "классической длинной арифметики" заключается в том, что число хранится в виде массива его цифр. |
Цифры могут использоваться из той или иной системы счисления, обычно применяются десятичная система счисления и её степени (десять тысяч, миллиард), двоичная система счисления либо любая другая. | Цифры могут использоваться из той или иной системы счисления, обычно применяются десятичная система счисления и её степени (десять тысяч, миллиард), двоичная система счисления либо любая другая. | ||
==Представление в памяти== | ==Представление в памяти== | ||
− | Один из вариантов хранения длинных чисел | + | Один из вариантов хранения длинных чисел — массив целых чисел, где каждый элемент — это одна цифра числа в ''b''-ичной системе счисления. |
+ | Цифры будут храниться в массиве в следующем порядке: сначала идут наименее значимые цифры (т.е., например, единицы, десятки, сотни, и т.д.). | ||
− | + | Кроме того, все операции реализуются таким образом, что после выполнения любой из них лидирующие нули (т.е. лишние нули в начале числа) отсутствуют (разумеется, в предположении, что перед каждой операцией лидирующие нули также отсутствуют). Следует отметить, что в представленной реализации для числа ноль корректно поддерживаются сразу два представления: пустой вектор цифр, и вектор цифр, содержащий единственный элемент — ноль. | |
− | |||
− | Кроме того, все операции | ||
==Сложение, вычитание, умножение, деление на короткое, деление на длинное== | ==Сложение, вычитание, умножение, деление на короткое, деление на длинное== | ||
− | Операции над числами | + | Операции над числами производятся с помощью "школьных" алгоритмов сложения, вычитания, умножения, деления столбиком. |
− | |||
После совершения операций следует не забывать удалять лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют. | После совершения операций следует не забывать удалять лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют. | ||
Версия 20:39, 11 мая 2018
Определение: |
Длинная арифметика (англ. arbitrary-precision arithmetic, или bignum arithmetic) — это набор программных средств (структуры данных и алгоритмы), которые позволяют работать с числами гораздо больших величин, чем это позволяют стандартные типы данных. |
Содержание
Классическая длинная арифметика
Основная идея "классической длинной арифметики" заключается в том, что число хранится в виде массива его цифр. Цифры могут использоваться из той или иной системы счисления, обычно применяются десятичная система счисления и её степени (десять тысяч, миллиард), двоичная система счисления либо любая другая.
Представление в памяти
Один из вариантов хранения длинных чисел — массив целых чисел, где каждый элемент — это одна цифра числа в b-ичной системе счисления. Цифры будут храниться в массиве в следующем порядке: сначала идут наименее значимые цифры (т.е., например, единицы, десятки, сотни, и т.д.).
Кроме того, все операции реализуются таким образом, что после выполнения любой из них лидирующие нули (т.е. лишние нули в начале числа) отсутствуют (разумеется, в предположении, что перед каждой операцией лидирующие нули также отсутствуют). Следует отметить, что в представленной реализации для числа ноль корректно поддерживаются сразу два представления: пустой вектор цифр, и вектор цифр, содержащий единственный элемент — ноль.
Сложение, вычитание, умножение, деление на короткое, деление на длинное
Операции над числами производятся с помощью "школьных" алгоритмов сложения, вычитания, умножения, деления столбиком. После совершения операций следует не забывать удалять лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.
Подбор значения очередной цифры в алгоритме деления в столбик
Подбор следующей цифры
частного можно производить с помощью стандартного алгоритма двоичного поиска за .Но также существуют и более быстрые алгоритмы. Довольно интересный способ состоит в высказывании догадки (qGuess) по первым цифрам делителя и делимого. Понятно, что этих нескольких цифр недостаточно для гарантированно правильного результата, однако неплохое приближение все же получится. Пусть очередной шаг представляет собой деление некоторого
на . Если BASE (где BASE — основание системы счисления), то можно доказать следующие факты:- 1. Если положить qGuess BASE , то qGuess qGuess.
Иначе говоря, вычисленная таким способом “догадка” будет не меньше искомого частного, но может быть больше на
или .- 2. Если же дополнительно выполняется неравенство qGuess BASE , где – остаток при нахождении qGuess и qGuess BASE, то qGuess qGuess, причем вероятность события qGuess приблизительно равна BASE.
Таким образом, если
BASE , то можно вычислить qGuess BASE и уменьшать на единицу до тех пор, пока не станут выполняться условия. Получившееся значение будет либо правильным частным , либо, с вероятностью BASE, на единицу большим числом.Что делать, если
слишком мало, чтобы пользоваться таким способом? Например, можно домножить делитель и делимое на одно и то же число scale BASE . В случае, если основание системы счисления является степенью двойки, scale можно выбрать соответствующей степенью двойки. При этом несколько изменится способ вычисления остатка, а частное останется прежним. Такое домножение иногда называют нормализацией числа. На тот случай, если qGuess получилось все же на единицу большим , будем использовать вычитание, которое вместо отрицательного числа даст дополнение до следующей степени основания. Если такое произошло, то последний перенос будет равен . Это сигнал, что необходимо прибавить одно B назад. Заметим, что в конце сложения будет лишний перенос на единицу, о котором нужно забыть (он компенсирует последний перенос ).http://forum.sources.ru/index.php?showtopic=210512&hl=