Классические теоремы дифференциального исчисления

Эта статья находится в разработке!

Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке

Определение:

Точка [math] x_0 [/math] называется точкой локального минимума, если [math] \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \ge f(x_0)[/math] Точка [math] x_0 [/math] называется точкой локального максимума, если [math] \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \le f(x_0)[/math]

Сами значения [math] f(x_o) [/math] называются соответственно локальным минимумом и локальным максимумом.

Теорема (Ферма):

Пусть [math] f(x) [/math] существует и дифференцируема в [math] O(x_0) [/math], и [math] x_0 [/math] - точка локального экстремума. Тогда [math] f'(x_0) = 0.[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим случай, когда [math] x_0 [/math] - точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично. [math] \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}[/math]; рассмотрим [math] \Delta x \approx 0 [/math]. Заметим, что, по определению локального минимума, [math] f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \ge 0 [/math]. Возможны 2 случая для [math] \Delta x [/math]: 1) [math] \Delta x \lt 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \le 0 \Rightarrow f'(x_0) \le 0 [/math] 2) [math] \Delta x \gt 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 [/math] Отсюда, [math] f'(x_0) = 0 [/math]

[math]\triangleleft[/math]