Регулярные выражения с обратными ссылками

Определение:

Регулярные выражения с обратными ссылками (англ. regex with backreferences) — одна из разновидностей регулярных выражений, дающая возможность использовать в них слова, принадлежащие некоторой группе (англ. capture group).

Выражение, заключённое в скобки, называется группой. Скобки захватывают текст, сопоставленный регулярным выражением внтури нумерованной группы, который может быть повторно использован с помощью обратной ссылки с указанием номера группы.

Порядок нумерации групп: сначала внешняя, потом вложенные (в порядке обхода в глубину).

Применение

С помощью обратных ссылок можно составить регулярные выражения для языка тандемных повторов и других языков, где требуется «запоминать» части входящих в язык слов.

Регулярные выражения в языках программирования зачастую поддерживают обратные ссылки. На практике их можно использовать, например, для парсинга html-выражений (поиск подстрок, содержащихся в определённых тегах).

Примеры

• Запишем регулярное выражение для языка тандемных повторов над алфавитом [math]\Sigma=\{0,1\}[/math]:

[math]L=((0|1)^∗)\backslash 1,[/math]

где «[math]\backslash[/math]» – символ обратной ссылки, который действует на первую группу. Обратная ссылка [math]\backslash 1[/math] показывает, что после группы [math]1[/math] — [math]((0|1)^∗)[/math] — должен быть описан тот же текст, что содержится в ней.

Данный язык не является регулярным, однако его можно представить с помощью регулярных выражений с использованием обратных ссылок.

• Выведем регулярное выражение для языка, состоящего из палиндромов фиксированной длины [math]n=2\cdot m\,[/math] или [math]\,n=2\cdot m+1[/math]:

1. для чётного [math]n[/math]: [math]\;(.)(.)(.)...(.)\backslash m...\backslash 3\backslash 2\backslash 1;[/math]
2. для нечётного [math]n[/math]: [math]\;(.)(.)(.)...(.).\backslash m...\backslash 3\backslash 2\backslash 1,\;[/math]

где «[math].[/math]» – любой одиночный символ.

• Запишем регулярное выражение для языка [math]L=b^kab^kab^ka[/math]. Данный язык не является ни регулярным, ни контекстно-свободным (по лемме о разрастании), но также легко представим с помощью обратных ссылок:

[math]L=(b\{b\}^*a)\backslash 1\backslash 1[/math]

• Язык [math]L=a^nb^n,\,n\gt 0\,[/math] можно представить при помощи обратных ссылок:

[math]L=(a(?1)?b),[/math]

где «[math]?1[/math]» – ссылка, осуществляющая рекурсивный вызов первой группы. Следущий за ссылкой знак вопроса обозначает использование группы [math]0[/math] или [math]1[/math] раз, то есть осуществление рекурсивного вызова или его окончание.

Теорема о КС-языках

Теорема:

С помощью механизма обратных ссылок можно представить любой контекстно-свободный язык.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По определению контекстно-свободного языка, любой КС-язык реализуется с помощью продукций нескольких видов; для каждого из них покажем, что его можно реализовать с использованием регулярных выражений с обратными ссылками. Рассмотрим один из таких: [math]S\rightarrow A\\A\rightarrow BC\\A\rightarrow CD[/math] Очевидно, что эквивалентным будет выражение [math]((?B)\,(?C)\,|\,(?C)\,(?D))\,[/math], где [math]B, C, D[/math] — группы. Аналогично с КС-языком, одна из продукций которого представлена в виде [math]A\rightarrow A...,\,[/math] например, регулярное выражение для языка: [math]S\rightarrow A\\A\rightarrow \varepsilon\\A\rightarrow BA\\B\rightarrow b\\B\rightarrow c[/math] будет выглядеть так: [math]((b\,|\,c)\,(?1)?).[/math] То есть правила вида [math]A\rightarrow BCD...\,[/math] реализуются при помощи ссылок на соответствующие группы, а для правил вида [math]A\rightarrow A...\,[/math] используется обратная ссылка на ту же самую группу, для которой создаётся правило. При наличии нескольких правил в регулярном выражении пишется логическое «или». Таким образом, регулярные выражения с обратными ссылками имеют бо́льшую мощность по сравнению с обычными. С их помощью реализуются как регулярные языки, так и контекстно-свободные, а также некоторые контестно-зависимые.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Регулярные языки: два определения и их эквивалентность
• Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора
• Иерархия Хомского формальных грамматик

Источники информации

• Работа с обратными ссылками в Java
• Визуализатор регулярных выражений
• habr.com — Истинное могущество регулярных выражений