Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона — различия между версиями
(→Описание) |
(→Алгоритм) (Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии) |
||
(не показано 7 промежуточных версий 3 участников) | |||
Строка 5: | Строка 5: | ||
* '''Шаг 2.''' Затем, пока очередь не пуста выполняем следующие действия: | * '''Шаг 2.''' Затем, пока очередь не пуста выполняем следующие действия: | ||
** Достаем из очереди множество, назовем его <tex>q</tex> | ** Достаем из очереди множество, назовем его <tex>q</tex> | ||
− | ** Для | + | ** Для всех <tex>c \in \Sigma</tex> посмотрим в какое состояние ведет переход по символу <tex>c</tex> из каждого состояния в <tex>q</tex>. Полученное множество состояний положим в очередь <tex>Q</tex> только если оно не лежало там раньше. Каждое такое множество в итоговом ДКА будет отдельной вершиной, в которую будут вести переходы по соответствующим символам. |
** Если в множестве <tex>q</tex> хотя бы одна из вершин была терминальной в НКА, то соответствующая данному множеству вершина в ДКА также будет терминальной. | ** Если в множестве <tex>q</tex> хотя бы одна из вершин была терминальной в НКА, то соответствующая данному множеству вершина в ДКА также будет терминальной. | ||
* Конец. | * Конец. | ||
Строка 34: | Строка 34: | ||
===Алгоритм=== | ===Алгоритм=== | ||
− | <tex>P</tex> {{---}} очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА. <tex> | + | * <tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА. |
− | <tex>s</tex> {{---}} стартовое состояние НКА. | + | * <tex>\mathtt{Q_d}</tex> {{---}} массив множеств, соответствующих состояниям ДКА. |
− | '''Automaton''' getDFAbyNFA(<tex>\langle \Sigma, | + | * <tex>\mathtt{s}</tex> {{---}} стартовое состояние НКА. |
− | <tex>P</tex>.push({s}) | + | '''Automaton''' getDFAbyNFA(<tex>\langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex> : '''Automaton'''): |
− | <tex> | + | <tex>P</tex>.push(<tex>\{s\}</tex>) |
− | '''while''' | + | <tex>Q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex> |
+ | '''while''' <tex>P</tex> <tex> \neq </tex> <tex>\varnothing </tex> | ||
<tex>P</tex>.pop(<tex>p_d</tex>) | <tex>P</tex>.pop(<tex>p_d</tex>) | ||
− | '''for''' | + | '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> |
<tex>q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex> | <tex>q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex> | ||
− | '''for''' | + | '''for''' <tex>p \in p_d</tex> |
− | <tex>q_d</tex> = <tex>q_d \cup \{ \ | + | <tex>q_d</tex> = <tex>q_d \cup \{ \delta(p, c) \}</tex> |
− | + | <tex>\delta_d(p_d, q_d)</tex> = <tex>c</tex> | |
+ | '''if''' <tex>q_d \notin Q_d</tex> | ||
<tex>P</tex>.push(<tex>q_d</tex>) | <tex>P</tex>.push(<tex>q_d</tex>) | ||
− | <tex> | + | <tex>Q_d</tex>.add(<tex>q_d</tex>) |
− | + | <tex>T_d</tex> = <tex>\{q_d \in Q_d \mid \exists p \in T : p \in q_d\}</tex> | |
− | + | '''return''' <tex>\langle \Sigma, Q_d, \{s\}, T_d, \delta_d \rangle</tex> | |
− | |||
− | |||
− | '''return''' <tex>\langle \Sigma, | ||
===Асимптотика=== | ===Асимптотика=== |
Версия 17:53, 16 мая 2018
Содержание
Описание
Алгоритм Томпсона строит по НКА эквивалентный ДКА следующим образом:
- Начало.
- Шаг 1. Помещаем в очередь множество, состоящее только из стартовой вершины.
- Шаг 2. Затем, пока очередь не пуста выполняем следующие действия:
- Достаем из очереди множество, назовем его
- Для всех посмотрим в какое состояние ведет переход по символу из каждого состояния в . Полученное множество состояний положим в очередь только если оно не лежало там раньше. Каждое такое множество в итоговом ДКА будет отдельной вершиной, в которую будут вести переходы по соответствующим символам.
- Если в множестве хотя бы одна из вершин была терминальной в НКА, то соответствующая данному множеству вершина в ДКА также будет терминальной.
- Конец.
Построение эквивалентного ДКА по НКА
Пусть нам дан произвольный НКА:
.Построим по нему следующий ДКА:
, где:- ,
- ,
- ,
- .
Доказательство эквивалентности
Теорема: |
Построенный ДКА эквивалентен данному НКА. |
Доказательство: |
|
Алгоритм Томпсона
Данный алгоритм преобразовывает НКА в эквивалентный ДКА. Будем использовать вышеуказанный способ построения с одним дополнением — не будем учитывать состояния недостижимые из стартового. Поэтому в алгоритме используется обход в ширину.
Алгоритм
- — очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА.
- — массив множеств, соответствующих состояниям ДКА.
- — стартовое состояние НКА.
Automaton getDFAbyNFA(: Automaton): .push( ) = while .pop( ) for = for = = if .push( ) .add( ) = return
Асимптотика
Так как количество подмножеств множества состояний НКА не более, чем
, а каждое подмножество мы обрабатываем ровно один раз за время , получаем верхнюю оценку времени работы алгоритма — .Пример
Пусть нам дан недетерминированный конечный автомат:
По нашему заданию эквивалентного ДКА мы получаем:
- Помещаем в очередь множество из одной стартовой вершины — : .
- Достаём из очереди множество : .
- , кладём множество в очередь: .
- , нам не надо класть множество в очередь, так как оно уже там было.
- Достаём из очереди множество : .
- , нам не надо класть множество в очередь, так как оно уже там было.
- , нам не надо класть множество в очередь, так как оно уже там было.
- Помечаем все терминальные вершины, в данном случае — .
В итоге получаем ДКА, эквивалентный исходному:
См. также
- Регулярные языки: два определения и их эквивалентность
- Минимизация ДКА, алгоритм за O(n^2) с построением пар различимых состояний
- Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)
Источники информации
- Серебряков В.А. Теория и реализация языков программирования. М.: МЗ-Пресс, 2003 (1-е изд.) и 2006 (2-е изд) — С. 294. — ISBN 5-94073-094-9