344
правки
Изменения
Нет описания правки
|id=th2
|statement=
Ряд <tex>\sum_{}\fracdfrac{1}{n}</tex> расходится.
|proof=
<tex>\sum_{n=1}^\infty\fracdfrac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.
}}
Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \le k}^{}{(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \le k} \fracdfrac{1}{n}</tex>.
Теперь, пользуясь выражением <tex> \ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:
<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)} \le \fracdfrac{c}{p^2} </tex> — расходится.
==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}\frac{1}{p}</tex>==
|id=th3
|statement=
Ряд <tex>\sum_{}^{}\fracdfrac{1}{p}</tex>, где <tex>p</tex> — простое, расходится.
|proof=
Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:
<tex> \ln(1+x) \le x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \fracdfrac{1}{p} + \cdots)} \le \sum_{}^{} {( \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.Финально: <tex> \sum_{}^{} \fracdfrac{1}{p} \ge \sum_{}^{} {[\ln(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots) - \fracdfrac{c}{p^2}]} </tex> — расходится.
}}
