Изменения
→Проекторы Шаудера
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} вполне непрерывен на ограниченном <tex> D </tex>, <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно.
<tex> \forall \varepsilon > 0 \; \exists y_1 \in M, \ldots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.
Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \ldots, p, \forall y \in M: </tex>
Если <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} выпуклое множество, то <tex> P_\varepsilon(y) \in M </tex>, как выпуклая комбинация точек <tex> y_1, \ldots, y_p </tex>.
Рассмотрим <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y) \cdot y_j - \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y) \cdot y \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y) \cdot (y_j - y) \| </tex>.
Если <tex> \| y_j - y \| > \varepsilon </tex>, то <tex> \alpha_j(y) = 0 </tex>, поэтому, продолжая цепочку неравенств, <tex> \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y) \cdot (y_j - y) \| \le \varepsilon \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y) \le \varepsilon </tex>.
Получили, что <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, когда <tex> \varepsilon \to 0 </tex>.
<tex> M </tex> {{---}} выпуклое ограниченное множество, оператор <tex> \mathcal{T} : M \to M </tex> является вполне ограниченным.
Определим последовательность <tex> \mathcal{T}_n = P_{\frac 1n} \mathcal{T} </tex>. <tex> \mathcal{T}_n : M \to M_n </tex>, где <tex> M_n </tex> {{---}} конечномерное пространствоподмножество конечномерного пространства. Применяя теорему БрауэраКаждое <tex> M_n </tex> является замкнутым выпуклым множеством, получаем, что поскольку является линейной оболочкой соответствующей <tex> \forall frac{1}{n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>-сети.
Применяя теорему Брауэра, получаем, что <tex> \forall n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>.
Учитывая, что <tex> M_1 \cup M_2 \cup \ldots </tex> относительно компактно, из <tex> \{ x_n \} </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность: <tex> \exists x_{n_k} \to x^* \in M </tex>.
