Использование производящих функций для доказательства тождеств

Задача:

Доказать, что [math]\sum\limits_{i = 0}^{2n} (-1)^i \cdot (i + 1) \cdot (2n + 1 - i) = n + 1[/math]

Докажем, что [math]\sum\limits_{i = 0}^{2n} (-1)^i \cdot (i + 1) \cdot (2n + 1 - i) = 1 \cdot (2n + 1) - 2 \cdot (2n) + 3 \cdot (2n - 1) + \ldots + (2n + 1) \cdot 1 = n + 1[/math]

Рассмотрим известную нам производящую функцию

[math]\dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \ldots = \sum\limits_{i = 0}^{\infty}x^i[/math]