Изменения

Пусть F - замкнуто . Тогда <tex> \Rightarrow x \in F \Leftrightarrow \rho(x, F) = 0 </tex>

<tex> \Rightarrow </tex>:: <tex> \rho(x, F) = \inf \limits_{a \in F} \rho(x, a), a </tex>.: Но <tex> x \in F </tex>: , а <tex> \rho(x, x) = 0</tex>, по определению <tex> \rho >= 0 \Rightarrow inf ?????? </tex>, значит, <tex> \rho(x, F) = 0, </tex><tex> \Leftarrow </tex>:: Пусть <tex> x \notin F </tex>, тогда <tex>x \in X \backslash F = G = \bigcup\limits_{\alpha}{V_{r_\alpha}(x_{\alpha}})</tex>.Обратно:Значит, <tex> x \in V_r(y) <strike/tex>: и <tex> \rho(x , y) < r</tex>, <tex> F \in F bigcap V = \Rightarrow emptyset</tex>.Но, так как <tex>\rho(x, xF) = 0 ; inf </tex>, то <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists a \in F: \rho(x, a) = 0 (т.к< \varepsilon</tex>.  По неравенству треугольника, <tex> \rho >= 0(y, a) < \Rightarrow rho(y, x) + \rho(x ???? , a) < r + \varepsilon </tex>. При <tex>\varepsilon \rightarrow 0</tex> получаем, что <tex> \forall rho(y, a) < r </tex>, значит, точка <tex> a \in F </tex>принадлежит открытому шару, значит <tex> F \bigcap V \ne \emptyset</striketex> Бредовня это все!, получили противоречие.