Изменения

'''Инверсией''' (англ. ''inversion'') в перестановке <tex>P</tex> называется всякая пара индексов <tex>i, j</tex> такая, что <tex>1\leqslant i<j\leqslant n</tex> и <tex>P[i]>P[j]</tex>.

'''Таблицей инверсий''' (англ. ''inversion table'') перестановки <tex> P </tex> называют такую последовательность <tex> T = (t_1,t_2,\dots,t_n)</tex>, в которой <tex>t_i</tex> равно числу элементов перестановки <tex> P </tex>, стоящих в <tex> P </tex> левее числа <tex>i</tex> и больших <tex>i</tex>.

== Алгоритм построения за O(N²) ==

For '''for''' i = 1..n For '''for''' j = 1..(i - 1) '''if ''' P[j] > P[i] T[P[i]] = T[P[i]] + 1+Сложность данного алгоритма {{---}} <tex>O(n^2)</tex>. Уменьшить время работы можно используя алгоритм, похожий на [[Сортировка_слиянием |сортировку слиянием. ]]

Пусть дано разбиение перестановки на два списка, причём для каждого элемента дано число инверсий слева с элементами того же списка и известно, что все числа первого списка стоят левее всех чисел второго списка в исходной перестановке. Будем считать количество инверсий слева элементов обоих списков следующим образом: сливаем списки, аналогично [[Сортировка_слиянием |сортировке слиянием.]] Если в результат нужно записать элемент первого списка, то все нерассмотренные элементы второго списка больше, следовательно, количество инверсий для этого элемента не меняется. Если в результат нужно записать элемент второго списка, то все нерассмотренные элементы первого списка больше его и стоят левее. Следовательно, количество инверсий для этого элемента следует увеличить на количетво количество нерассмотренных элементов второго первого списка.

<font color=green>// ''inverses_merge'' {{---}} процедура, сливающая два списка пар</font> <font color=green>// ''inverses_get'' {{---}} процедура, рекурсивно получающая таблицу инверсий для перестановки</font> '''def ''' inverses_merge(ls1, ls2):

it1, it2 = 0, 0''null'' '''while ''' (it1 < len(ls1.length)) '''and ''' (it2 < len(ls2.length)): '''if ''' ls1[it1].item < ls2[it2].item:

it1 += 1+ '''else:''' result.append(item = ls2[it2].item, inverses = ls2[it2].inverses + len(ls1) .length - it1) it2 += 1+ '''while (''' it1 < len(ls1)):.length

it1 += 1+ '''while (''' it2 < len(ls2)):.length

it2 += 1+ '''return ''' result

'''def ''' inverses_get(ls): '''if len(''' ls) .length == 1: '''return ''' [(item = ls[0], inverses = 0)] '''else:''' '''return ''' inverses_merge(inverses_get(ls.first_half), inverses_get(ls.second_half)) 

Сложность представленного алгоритма есть == Алгоритм построения за O(N) == Для построения таблицы инверсий за линейное время воспользуемся [[Карманная сортировка | карманной сортировкой]]. При [[Карманная сортировка | карманной сортировке]] нужно определить карман <tex>B</tex>, в который попадет текущий элемент. Затем найти число элементов в старших карманах относительно <tex>B</tex>. Потом аккуратно подсчитать количество элементов, больших текущего в кармане <tex>B</tex>. Карман <tex>A</tex> считается старшим для кармана <tex>B</tex>, если любой элемент из <tex>A</tex> больше любого элемента из <tex>B</tex>.    '''int''' bucket_sort('''vector<int>''' permutation): '''int''' max = число больше permutation.size и из которого можно извлечь целый квадратный корень '''int''' bucket = sqrt(max) '''int''' answer = 0<font color=green> // изначально кол-во инверсий</font> '''list<list<int>>''' bank(bucket) '''for''' i = 0 to permutation.size '''int''' pos = (permutation[i] - 1) / (max / bucket) <font color=green>// Определяем в каком кармане должен лежать элемент</font> '''int''' newPosition = 0 '''while''' newPosition < bank[pos].size '''and''' bank[pos][newPosition] < permutation[i] <font color=green>// идем до позиции где должен стоять элемент permutation[i] </font> newPosition++ answer += bank[pos].size - newPosition <font color=green>// ищем сколько инверсий эленент создает в своем кармане</font> bank[pos].insert(newPosition, permutation[i]) <font color=green>// вставляем элемент в Карман на свою позицию </font> '''for''' i = position + 1 to bucket - 1 <font color=green>// ищем сколько инверсий он создает с элементами в других карманах</font> answer += bank[i].size '''return''' answer В разделе [[Карманная сортировка | карманная сортировка]] доказывается, что она работает за линейное время. Что касается подсчета инверсий, то в приведенной реализации происходит [[Карманная сортировка | карманная сортировка]] в online режиме и вся математическая часть подходит и под этот случай. Следует отметить, что хотя подсчет с помощью [[Карманная сортировка | карманной сортировки]] выполняется за линейное время, но имеет очень большую константу поэтому подсчет инверсий рассматриваемый выше за <tex>O(n\log n)</tex>. Алгоритм с такой же сложностью можно построить с помощью дерева отрезков работает быстрее .

Для восстановления перестановки по таблицы инверсий <tex>T</tex> воспользуемся следующим соображением: единица стоит в перестановке на <tex>T_iT_0</tex>-ом месте (индексируем элементы с нуля), так как остальные числа в перестановке больше единицы. Далее, если известны расположения всех чисел <tex>1, \dots, k</tex>, то число <tex>k + 1</tex> стоит на <tex>T_{k + 1}</tex>-ой ещё не занятой позиции: все числа, меньшие <tex>k + 1</tex> уже расставлены. Это рассуждение напрямую переписывается в код следующим образом: <font color=green>// ''j'' {{---}} счётчик пропущенных свободных позиций</font> <font color=green>// ''k'' {{---}} количество инверсий слева для элемента curr</font> <font color=green>// ''result'' {{---}} массив, в который записывается перестановка. Равенство элемента массива нулю обозначает, что эта позиция свободна.</font> '''def ''' recover_straight(ls): n = len(ls).length

'''for ''' k '''in ''' ls: j = 0 '''for (''' i = 0, i < ..(n, i += - 1): '''if ''' result[i] == 0: '''if ''' j == k:

'''break''' '''else:''' j += 1+ curr += 1+ '''return ''' result

Видно, что для восстановления нужно узнавать <tex>k</tex>-ую свободную позицию. Это можно делать с помощью [[Дерево_отрезков._Построение | дерева отрезков ]] следующим образом: построим дерево отрезков для суммы на массиве из единиц. Единица в позиции означает, что данная позиция свободна. Чтобы найти <tex>k</tex>-ую свободную позицию, нужно спускаться (начиная с корня) в левое поддерево если сумма в нём больше, чем <tex>k</tex>, и в правое дерево иначе.

<font color=green>// ''build_segment_tree'' {{---}} строит дерево отрезков над массивом</font> <font color=green>// ''node'' {{---}} вершина дерева</font> <font color=green>// ''node.index'' {{---}} индекс соответствующего элемента в массиве для листа дерева</font> '''def ''' recover(inv): n = len(inv).length

'''for ''' k '''in ''' inv:

'''while (''' !node.is_leaf): '''if (''' k < node.left.value):

'''else:'''

curr += 1+ '''return ''' result

Рассмотрим пример построения таблицы инверсий и восстановления перестановки по таблице инверсий. Пусть дана перестановка <tex>(5, 7, 1, 3, 4, 6, 8, 2)</tex>. Следующая таблица показывает работу алгоритма за <tex>O(n \log n)</tex>, на каждой строке один уровень рекурсии (на первой строке — самый глубокий). В скобках стоят пары: элемент перестановки, количество инверсий. Полужирным отмечены элементы, у которых обновилось значение количества инверсий на данном шаге.

{| style = "border-style: 0px solid; borderbackground-color: gray; text-align: center; padding : 0" cellpadding cellspacing = "2" border | style = "1background-color: white; padding: 3px 6px"|(5, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" | (7, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" | (1, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" | (3, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" | (4, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" | (6, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" | (8, 0)| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" | (2, 0)

|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(5, 0), (7, 0)|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(1, 0), (3, 0)|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(4, 0), (6, 0)|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|'''(2, 1)''', (8, 0)

|colspan = "4" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|'''(1, 2)''', '''(3, 2)''', (5, 0), (7, 0)|colspan = "4" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|'''(2, 3)''', (4, 0), (6, 0), (8, 0)

|colspan = "8" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(1, 2), '''(2, 6)''', (3, 2), '''(4, 2)''', (5, 0), '''(6, 1)''', (7, 0), (8, 0)

Полученная таблица инверсий: <tex>(2, 6, 2, 2, 0, 1, 0, 0)</tex>. Восстановим перестановку по таблице инверсий, начиная с пустого массива.

{| style = "border : 0px solid; background-color: grey; text-align: center; padding : 0;" cellspacing = "2"|colspan = "1 cellpadding " style = "3background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{1}</tex>| '''colspan = "1''' " style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>| |colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"| пропускаем две свободных позиции и ставим <tex>\bf{1}</tex>

| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>| colspan = "1 " style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| '''<tex>\bf{2''' }</tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"| пропускаем шесть свободных позиций и ставим <tex>\bf{2}</tex>

| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>| colspan = "1 " style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| '''<tex>\bf{3''' }</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>2 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"| пропускаем две свободных позиции и ставим <tex>\bf{3}</tex>

| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>| colspan = "1 " style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>3 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| '''<tex>\bf{4''' }</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>2 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"| пропускаем две свободных позиции и ставим <tex>\bf{4}</tex>

| '''colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{5''' }</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>1 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>3 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>4 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>2 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"| не пропускаем свободных позиции и ставим <tex>\bf{5}</tex>

| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>5 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>1 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>3 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>4 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| '''<tex>\bf{6''' }</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>2 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"| пропускаем одну свободную позицию и ставим <tex>\bf{6}</tex>

| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>5 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| '''<tex>\bf{7''' }</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>1 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>3 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>4 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>6 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>0</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>2 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"| не пропускаем свободных позиций и ставим <tex>\bf{7}</tex>

| colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>5 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>7 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>1 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>3 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>4 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>6 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| '''<tex>\bf{8''' }</tex>|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"| <tex>2 </tex>|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"| не пропускаем свободных позиций и ставим <tex>\bf{8}</tex>

== См. также ==* [[Матричное представление перестановок]] == Источники информации == * [https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation Wikipedia {{---}} Permutation]* Д. Кнут - Искусство программирования, том 3 {{---}} 29-31 с.  [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]