Асимптотика коэффициентов функций, связанных между собой уравнением Лагранжа

Пусть две производящие функции [math]\varphi = \varphi(s)[/math] и [math]\psi = \psi(t)\,[/math] связаны между собой уравнением Лагранжа [math]\varphi(s) = s\psi(\varphi(s))[/math]. Мы хотим выяснить, как связаны между собой их радиусы сходимости.

Теорема:

Пусть две производящие функции [math]\varphi = \varphi(s)[/math] и [math]\psi = \psi(t),\, \psi(0) = 1\,[/math] с неотрицательными коэффицентами связаны между собой уравнением Лагранжа [math]\varphi(s) = s\psi(\varphi(s))[/math]. Пусть [math]r \gt 0\,[/math] — радиус сходимости ряда [math]\varphi,[/math] причем числовой ряд [math]\varphi(r)[/math] сходится. Тогда радиус сходимости ряда [math]\psi[/math] не меньше [math]\rho = \varphi(r)[/math]. Если числовой ряд [math]\varphi '(r)[/math] также сходится, то радиус сходимости ряда [math]\psi[/math] равен [math]\rho = \varphi(r)[/math]. Замечание Требование неотрицательности коэффициентов рядов естественно, если мы рассматриваем производящие функции для языков. В этом случае естественно также ожидать, что радиус сходимости производящего ряда для числа неприводимых слов больше радиуса сходимости производящего ряда для числа всех слов в языке (последняя последовательность растет быстрее последовательности чисел неприводимых слов).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем, что ряд [math]\psi(s)[/math] сходится абсолютно в любой точке [math]s,\,\left\vert s \right\vert = q \lt \rho[/math]. Поскольку функция [math]\varphi[/math] монотонна и непрерывна на отрезке [math][0, r],\,[/math]существует точка [math]p \in [0, r][/math], такая, что [math]\varphi(p) = q[/math]. Поэтому для любой частичной суммы [math]\psi_n(s)[/math]

[math]\triangleleft[/math]