Асимптотика коэффициентов функций, связанных между собой уравнением Лагранжа

Пусть две производящие функции [math]\varphi = \varphi(s)[/math] и [math]\psi = \psi(t)\,[/math] связаны между собой уравнением Лагранжа [math]\varphi(s) = s\psi(\varphi(s))[/math]. Мы хотим выяснить, как связаны между собой их радиусы сходимости.

Теорема:

Пусть две производящие функции [math]\varphi = \varphi(s)[/math] и [math]\psi = \psi(t),\, \psi(0) = 1\,[/math] с неотрицательными коэффицентами связаны между собой уравнением Лагранжа [math]\varphi(s) = s\psi(\varphi(s))[/math]. Пусть [math]r \gt 0\,[/math] — радиус сходимости ряда [math]\varphi,[/math] причем числовой ряд [math]\varphi(r)[/math] сходится. Тогда радиус сходимости ряда [math]\psi[/math] не меньше [math]\rho = \varphi(r)[/math]. Если числовой ряд [math]\varphi '(r)[/math] также сходится, то радиус сходимости ряда [math]\psi[/math] равен [math]\rho = \varphi(r)[/math]. Замечание Требование неотрицательности коэффициентов рядов естественно, если мы рассматриваем производящие функции для языков. В этом случае естественно также ожидать, что радиус сходимости производящего ряда для числа неприводимых слов больше радиуса сходимости производящего ряда для числа всех слов в языке (последняя последовательность растет быстрее последовательности чисел неприводимых слов).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем, что ряд [math]\psi(s)[/math] сходится абсолютно в любой точке [math]s,\,\left\vert s \right\vert = q \lt \rho[/math]. Поскольку функция [math]\varphi[/math] монотонна и непрерывна на отрезке [math][0, r],\,[/math]существует точка [math]p \in [0, r][/math], такая, что [math]\varphi(p) = q[/math]. Поэтому для любой частичной суммы [math] \psi_n(s) = \psi_0 + \psi_1 \cdot s + \ldots + \psi_n \cdot s^n[/math] ряда [math] \psi(s) [/math] [math] \left\vert \psi_n(s) \right\vert \leqslant \psi_n(q) = \psi_n(\varphi(p)) \leqslant \varphi(p),[/math] где последнее неравенство следует из предыдущего замечания. Первое утверждение теоремы доказано. Перепишем теперь утверждение Лагранжа [math] \varphi(s) = s \cdot \psi \cdot (\varphi(s)) [/math] в виде [math] \psi(\lambda) = \dfrac {\lambda} {\varphi^{-1}(\lambda)}. [/math] Функции [math]\psi(\lambda) [/math] и [math] \varphi^{-1}(\lambda)[/math] определены и голоморфны внутри круга радиуса [math]\rho [/math]. Теорема будет доказана, если мы покажем, что функцию [math]\varphi^{-1}(\lambda)[/math] нельзя продолжить голоморфно ни в какую окрестность точки [math]\rho[/math]. Предположим, что такое продолжение существует. Тогда [math] ({\varphi^{-1}}')(\rho) = \lim_{n \to \rho - 0}({\varphi^{-1}} ')(\lambda) = \dfrac {1} {\lim_{t \to r - 0} {\varphi} ' (t)}. [/math] Последний предел существует и, по условию теоремы, положителен. Поэтому функция [math]\varphi^{-1}[/math]обратима в окрестности точки [math]\rho,[/math] что, в свою очередь, противоречит условиям теоремы.

[math]\triangleleft[/math]

Отметим, что производящий ряд для чисел Каталана [math]Cat(s)[/math]сходится при [math]s = r = \dfrac{1}{4},[/math] так как числа Каталана имеют асимптотику [math]4^n \cdot n^{-3/2},[/math] а ряд [math]\sum_{} n^{-3/2}[/math] сходится. С другой стороны, коэффиценты производной имеют асимптотику [math]4^n \cdot n^{-1/2},[/math] и поэтому ряд [math]Cat ' (\dfrac{1}{4})[/math] расходится. В результате теорема в полном объеме к функции Каталана неприменима, а второе утверждение оказывается неверным.