Изменения

{{Определение|definition=Пусть есть отрезок <tex>\left [ a,b \right ]</tex> и некоторое <tex dpi = "120">\tau:a=x_0<x_1<...\dots <x_n=b</tex> (<tex>\tau</tex> называется ''разбиением '' отрезка <tex>\left [ a,b \right ]</tex>). }} {{Определение|definition=<tex dpi = "120">\Delta_k=x_{k+1}-x_k</tex> называется длиной длина текущего отрезка разбиения.<br><br>}} {{Определение|definition=<tex>\operatorname{rang~ } \tau \stackrel{\mathrm{def}}{=} \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}</tex><br>}} {{Определение|definition=Пусть <tex dpi = "120">\overline{x_k} \mathcal </tex> {{2---} } произвольное <tex>x</tex> из <tex>\left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>~f\colon </tex> {{ \left ---}} функция, заданная на отрезке <tex>[ a,; b \right ]} </tex>, <tex>\to tau</tex> {\mathbb {R---}}разбиение отрезка </tex>[a; b]<br/tex>. Тогда <tex dpi = "120">\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex> (также обозначается как <tex dpi >\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex>\sigma \left ( \tau \right )</tex>)<tex>~= "120"\sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex>называется '''интегральной суммой Римана''' по разбиению <tex>\tau</tex>.}} <tex>I= \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )</tex> <tex>\stackrel{\mathrm{def}}{\iff} </tex> <tex>\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall \tau : \operatorname{rang} \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau\right ) - I \right | < \varepsilon</tex> {{Определение|definition=Определённым интегралом Римана [[Отображения|функции]] <tex>f</tex> называется [[Предел последовательности|предел]] её интегральных сумм, коротко записывается как <tex>\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f</tex>}} Факт существования интеграла функции <tex>f</tex> обозначается как <tex>f \in \mathcal{R}\left ( a, b \right )</tex> или  {{Утверждение|id= utv1|statement=Если <tex>f \in \mathcal R\left ( a,b \right )</tex>, то <tex>f</tex dpi > {{---}} ограничена.|proof= "120"Пусть <tex>\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\varepsilon=1</tex>.Делим <tex>\left [ a, b \right ]</tex> на <tex>n</tex> разных частей, так, чтобы <tex>\frac{b-a}{n}<\delta </tex>и фиксируем такое разбиение.Среди отрезков <tex>x_n</tex> берём один из них: <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex>и варьируем <tex>\overline{x_{k_0}}</tex> в его пределах произвольно;для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу.<tex>I-1-\sum\limits_{k=0, k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}<f \left ( \overline{x_{k_0}} \right )\cdot\Delta_{k_0}<I+1-\sum\limits_{k=0,k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot \Delta_{k}</tex>.Разделим на <tex> \Delta_{k_0}: \left | f \left ( \overline{x_{k_0}} \right ) \right | \leqslant M_{k_0}</tex> на <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex>.Проделывая так с каждым отрезком, мы увидим, что на каждом из них фунцкия ограничена, значит, она будет ограничена на всём отрезке.}} [[Категория: Математический анализ 1 курс]]