Обход в ширину — различия между версиями
Arimon (обсуждение | вклад) м |
Arimon (обсуждение | вклад) м |
||
Строка 12: | Строка 12: | ||
== Анализ времени работы == | == Анализ времени работы == | ||
− | + | ш- | |
Оценим время работы для входного графа <tex>G = (V, E)</tex>, где множество ребер <tex> E </tex> представлено списком смежности. В очередь добавляются только непосещенные вершины, поэтому каждая вершина посещается не более одного раза. Операции внесения в очередь и удаления из нее требуют <tex> O(1) </tex> времени, так что общее время работы с очередью составляет <tex> O(|V|) </tex> операций. Для каждой вершины <tex> v </tex> рассматривается не более <tex> \mathrm{deg}(v) </tex> ребер, инцидентных ей. Так как <tex> \sum\limits_{v \in V} \mathrm{deg}(v) = 2|E| </tex>, то время, используемое на работу с ребрами, составляет <tex> O(|E|) </tex>. Поэтому общее время работы алгоритма поиска в ширину — <tex> O(|V| + |E|) </tex>. | Оценим время работы для входного графа <tex>G = (V, E)</tex>, где множество ребер <tex> E </tex> представлено списком смежности. В очередь добавляются только непосещенные вершины, поэтому каждая вершина посещается не более одного раза. Операции внесения в очередь и удаления из нее требуют <tex> O(1) </tex> времени, так что общее время работы с очередью составляет <tex> O(|V|) </tex> операций. Для каждой вершины <tex> v </tex> рассматривается не более <tex> \mathrm{deg}(v) </tex> ребер, инцидентных ей. Так как <tex> \sum\limits_{v \in V} \mathrm{deg}(v) = 2|E| </tex>, то время, используемое на работу с ребрами, составляет <tex> O(|E|) </tex>. Поэтому общее время работы алгоритма поиска в ширину — <tex> O(|V| + |E|) </tex>. | ||
Строка 27: | Строка 27: | ||
'''База''': изначально очередь содержит только одну вершину <tex> s </tex>. | '''База''': изначально очередь содержит только одну вершину <tex> s </tex>. | ||
− | '''Переход''': пусть после <tex> i-й < | + | '''Переход''': пусть после <tex> i-й <tex> итерации в очереди <tex> a + 1 </tex> вершин с расстоянием <tex> x </tex> и <tex> b </tex> вершин с расстоянием <tex> x + 1 </tex>. |
Рассмотрим <tex> i-ю </tex> итерацию. Из очереди достаем вершину <tex> v </tex>, с расстоянием <tex> x </tex>. Пусть у v есть <tex>r </tex> непосещенных смежных вершин. Тогда, после их добавления, в очереди находится <tex> a </tex> вершин с расстоянием <tex> x </tex> и, после них, <tex> b + r </tex> вершин с расстоянием <tex> x + 1 </tex>. | Рассмотрим <tex> i-ю </tex> итерацию. Из очереди достаем вершину <tex> v </tex>, с расстоянием <tex> x </tex>. Пусть у v есть <tex>r </tex> непосещенных смежных вершин. Тогда, после их добавления, в очереди находится <tex> a </tex> вершин с расстоянием <tex> x </tex> и, после них, <tex> b + r </tex> вершин с расстоянием <tex> x + 1 </tex>. |
Версия 17:24, 8 ноября 2018
Обход в ширину (Поиск в ширину, англ. BFS, Breadth-first search) — один из простейших алгоритмов обхода графа, являющийся основой для многих важных алгоритмов для работы с графами.
Содержание
Описание алгоритма
Пусть задан невзвешенный ориентированный граф , в котором выделена исходная вершина . Требуется найти длину кратчайшего пути (если таковой имеется) от одной заданной вершины до другой. Частным случаем указанного графа является невзвешенный неориентированный граф, т.е. граф, в котором для каждого ребра найдется обратное, соединяющее те же вершины в другом направлении.
Для алгоритма нам потребуются очередь и множество посещенных вершин , которые изначально содержат одну вершину . На каждом шагу алгоритм берет из начала очереди вершину и добавляет все непосещенные смежные с вершины в и в конец очереди. Если очередь пуста, то алгоритм завершает работу.
Анализ времени работы
ш- Оценим время работы для входного графа
, где множество ребер представлено списком смежности. В очередь добавляются только непосещенные вершины, поэтому каждая вершина посещается не более одного раза. Операции внесения в очередь и удаления из нее требуют времени, так что общее время работы с очередью составляет операций. Для каждой вершины рассматривается не более ребер, инцидентных ей. Так как , то время, используемое на работу с ребрами, составляет . Поэтому общее время работы алгоритма поиска в ширину — .Корректность
Утверждение: |
В очереди поиска в ширину расстояние вершин до монотонно неубывает. |
Докажем это утверждение индукцией по числу выполненных алгоритмом шагов. Введем дополнительный инвариант: у любых двух вершин из очереди, расстояние до отличается не более чем на .База: изначально очередь содержит только одну вершину .Переход: пусть после вершин с расстоянием и вершин с расстоянием .Рассмотрим Оба инварианта сохранились, итерацию. Из очереди достаем вершину , с расстоянием . Пусть у v есть непосещенных смежных вершин. Тогда, после их добавления, в очереди находится вершин с расстоянием и, после них, вершин с расстоянием . после любого шага алгоритма элементы в очереди неубывают. |
Теорема: |
Алгоритм поиска в ширину в невзвешенном графе находит длины кратчайших путей до всех достижимых вершин. |
Доказательство: |
Допустим, что это не так. Выберем из вершин, для которых кратчайшие пути от найдены некорректно, ту, настоящее расстояние до которой минимально. Пусть это вершина , и она имеет своим предком в дереве обхода в ширину , а предок в кратчайшем пути до — вершина .Так как — предок в кратчайшем пути, то , и расстояние до найдено верно, . Значит, .Так как Расстояние до — предок в дереве обхода в ширину, то . найдено некорректно, поэтому . Подставляя сюда два последних равенства, получаем , то есть, . Из ранее доказанной леммы следует, что в этом случае вершина попала в очередь и была обработана раньше, чем . Но она соединена с , значит, не может быть предком в дереве обхода в ширину, мы пришли к противоречию, следовательно, найденные расстояния до всех вершин являются кратчайшими. |
Дерево обхода в ширину
Поиск в ширину также может построить дерево поиска в ширину. Изначально оно состоит из одного корня . Когда мы добавляем непосещенную вершину в очередь, то добавляем ее и ребро, по которому мы до нее дошли, в дерево. Поскольку каждая вершина может быть посещена не более одного раза, она имеет не более одного родителя. После окончания работы алгоритма для каждой достижимой из вершины путь в дереве поиска в ширину соответствует кратчайшему пути от до в .
Реализация
Предложенная ниже функция возвращает кратчайшее расстояние между двумя вершинами.
- — исходная вершина
- — конечная вершина
- — граф, состоящий из списка вершин и списка смежности . Вершины нумеруются целыми числами.
- — очередь.
- В поле хранится расстояние от до .
int BFS(G: (V, E), source: int, destination: int): d = int[|V|] fill(d,) d[source] = 0 Q = Q.push(source) while Q u = Q.pop() for v: (u, v) in E if d[v] == d[v] = d[u] + 1 Q.push(v) return d[destination]
Если требуется найти расстояние лишь между двумя вершинами, из функции можно выйти, как только будет установлено значение meet-in-the-middle.
. Еще одна оптимизация может быть проведена при помощи методаВариации алгоритма
0-1 BFS
Пусть в графе разрешены ребра веса
и , необходимо найти кратчайший путь между двумя вершинами. Для решения данной задачи модифицируем приведенный выше алгоритм следующим образом:Вместо очереди будем использовать дек (или можно даже steque). Если рассматриваемое ее ребро имеет вес , то будем добавлять вершину в начало, а иначе в конец. После этого добавления, дополнительный введенный инвариант в доказательстве расположения элементов в деке в порядке неубывания продолжает выполняться, поэтому порядок в деке сохраняется. И, соответственно, релаксируем расстояние до всех смежных вершин и, при успешной релаксации, добавляем их в дек.
Таким образом, в начале дека всегда будет вершина, расстояние до которой меньше либо равно расстоянию до остальных вершин дека, и инвариант расположения элементов в деке в порядке неубывания сохраняется. Значит, алгоритм корректен на том же основании, что и обычный BFS. Очевидно, что каждая вершина войдет в дек не более двух раз, значит, асимптотика у данного алгоритма та же, что и у обычного BFS.
1-k BFS
Пусть в графе разрешены ребра целочисленного веса из отрезка
, необходимо найти кратчайший путь между двумя вершинами. Представим ребро веса как последовательность ребер (где — новые вершины). Применим данную операцию ко всем ребрам графа . Получим граф, состоящий (в худшем случае) из ребер и вершин. Для нахождения кратчайшего пути следует запустить BFS на новом графе. Данный алгоритм будет иметь асимптотику .См. также
Источники информации
- Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — с. 459. — ISBN 5-8489-0857-4
- MAXimal :: algo :: Поиск в ширину
- Wikipedia — Breadth-first search
- Wikipedia — Поиск в ширину
- Визуализатор алгоритма