Изменения

В теории сложности == Определение =={{Определение|definition='''Класс P''' &mdash; <tex>\mathrm{P}</tex> {{---}} класс языков (задач), разрешимых на детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время, то есть :<tex>\mathrm{P} = \bigcup\limits_{p \in poly}DTIME(p(n))</tex><ref>[[Сложностные классы. Вычисления с оракулом]]</ref>.}}

'''P'''=Итого, язык <tex>\bigcup_{i=0}^{\infty}L</tex>'''[[DTIME]]'''лежит в классе <tex>(in^i)=\bigcup_mathrm{i=0}^{\infty}\bigcup_{k=0}^{\inftyP}</tex>'''DTIME'''<tex>(in^k)</tex>.  ==Определение==Язык <tex>L</tex> лежит в классе '''P''' тогда и только тогда, когда существует такая детерминированная машина Тьюринга <tex>m</tex>, что:

==Свойства Устойчивость класса Pк изменению модели вычислений ==# Замкнутость относительно дополненийМашина Тьюринга может симулировать другие модели вычислений (например, языки программирования) с не более чем полиномиальным замедлением. Благодаря этому, класс <tex> L \mathrm{P}</tex> ∈ '''P''' на этих моделях не становится шире. Согласно [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%81_%D0%A7%D1%91%D1%80%D1%87%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0 тезису Чёрча-Тьюринга], любой физически реализуемый алгоритм можно реализовать на машине Тьюринга. Так что класс <tex>\Rightarrow \overline L mathrm{P}</tex> ∈ '''устойчив и в обратном преобразовании модели вычислений. == Свойства класса P'''==# Замкнутость {{Теорема|statement =Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно [[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи|сведения по Карпу]]. <tex>L \in \mathrm{P}, M \le L \Rightarrow M \in \mathrm{P}</tex>.|proof =Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L</tex> ∈ '''P''' , работающий за полиномиальное время.<tex>(M \le leq L ) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\iff} ( \exists f \in \mathrm{\widetilde{P}} : w \in M \Leftrightarrow f(w) \Rightarrow in L ) </tex>.Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>M</tex> ∈ '''P'''. <tex>q(w):</tex> if (<tex>p(f(w))</tex>) return true return falseРазрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время, так как композиция полиномов есть полином.}}  {{Теорема# Замкнутость относительно [[Сведение по Карпу|сведения по Куку]]statement =<tex>D \subseteq \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{P}^D</tex>. В частности, из этого следует, что <tex>L\mathrm{P}=\mathrm{P^P}</tex> ⊂ '''.|proof =Понятно, что <tex>\mathrm{P} \subset \mathrm{P''' }^D</tex>. Докажем, что <tex>\mathrm{P}^D \subset \Rightarrowmathrm{P}</tex> '''. <tex>L \in \mathrm{P'''='''}^D \Rightarrow \exists A \in D: L \in \mathrm{P'''}^A</tex>. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>f(n)</tex> и использующий оракул языка <tex>A</tex>.Пусть <tex>q</tex> {{---}} разрешитель <tex>A</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>g(n)<sup/tex>.Представим себе разрешитель <mathtex>L</mathtex>, работающий как <tex>p</suptex>, но использующий <tex>q</tex> вместо оракула <tex>A</tex>.Его время работы ограничено сверху значением <tex>f(n) + \sum\limits_{i=1}^{f(n)} g(f(n)) = f(n) + f(n) g(f(n))</tex>, что является полиномом (обращений к <tex>q</tex> максимум <tex>f(n)</tex>; на вход для <tex>q</tex> можем подать максимум <tex>f(n)</tex> данных, так как больше сгенерировать бы не успели). Значит, <tex>L \in \mathrm{P}</tex>.}}

 {{Теорема|statement =Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно операций объединения, пересечения, конкатенации, замыкания Клини и дополнения. Если <tex>L_1, L_2 \in \mathrm{P}</tex>, то: <tex>L_1 \cup L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 \cap L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex> и <tex>\overline{L_1} \in \mathrm{P}</tex>.|proof =Докажем замкнутость замыкания Клини. Остальные доказательства строятся аналогично. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L_1</tex>, работающий за полиномиальное время. Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>L_1^*</tex>. <tex>q(w):</tex> <tex>n = |w|</tex> <tex>endPoses = \{0\}</tex> //позиции, где могут заканчиваться слова, принадлежащие <tex>L_1</tex> for (<tex>i = 1 \ldots n</tex>) for (<tex>j \in endPoses</tex>) if (<tex>p(w[j+1 \ldots i])</tex>) { if (<tex>i = n</tex>) return true <tex>endPoses</tex> <tex>\cup = \{i\}</tex> } return falseХудшая оценка времени работы разрешителя <tex>q</tex> равна <tex>n^2 O(p(w))</tex>, так как в множестве <tex>endPoses</tex> может быть максимум <tex>n</tex> элементов, значит итерироваться по множеству можно за <tex>n</tex>, если реализовать его на основе битового массива, например; при этом операция добавления элемента в множество будет работать за <tex>O(1)</tex>. Итого, разрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время (так как произведение полиномов есть полином). Значит <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex>.}} ==Примеры задач и языков из P==

* вычисление наибольшего общего делителя.;* задача линейного программирования;

Но, по {{Теорема|statement =Класс [[теорема о временной иерархииРегулярные языки: два определения и их эквивалентность|теореме о временной иерархиирегулярных языков]] существуют и задачи не из '''входит в класс <tex>\mathrm{P}</tex>, то есть: <tex>\mathrm{Reg} \subset \mathrm{P'''}</tex>.|proof =<tex>\mathrm{Reg} \subset \mathrm{TS}(n, 1) \subset \mathrm{P}</tex>}}

Легко показать{{Теорема|statement =Класс [[Контекстно-свободные грамматики, чтовывод, по определениюлево- и правосторонний вывод, '''дерево разбора|контекстно-свободных языков]] входит в класс <tex>\mathrm{P''' ⊂ '''NP'''}</tex>, так как для любой задачи класса '''то есть: <tex>\mathrm{CFL} \subset P''' существует соответствующая ДМТ</tex>.|proof =<tex>\mathrm{CFL} \subset \mathrm{TS}(n^3, которая является частным случаем НМТ, а значит задача, по определению, будет входить в класс '''NP'''n^2) \subset \mathrm{P}</tex>Первое включение выполняется благодаря существованию [[Алгоритм Эрли|алгоритма Эрли]].}}

== P-полные задачи ==Говоря про <tex>\mathrm{P}</tex>-[[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи#Определения трудных и полных задач|полноту]], мы, как правило, подразумеваем <tex>\mathrm{P}</tex>-полноту относительно <tex>\widetilde{\mathrm{L}}</tex>-сведения.<ref>[[Классы L, NL, coNL. NL-полнота задачи о достижимости]]</ref> {{Определение|definition=<tex>CIRCVAL = \{\langle C, x_1,\ldots,x_n\rangle \bigm| C(x_1,\ldots,x_n) = 1\}</tex>, где <tex>C</tex> это логическая схема.}} {{Теорема|statement =<tex>CIRCVAL</tex> {{---}} <tex>\mathrm{P}</tex>-полная задача.<ref>[http://www.math.sc.edu/~cooper/math778C/abct.pdf S.Arora, B.Barak, "Computational Complexity: A Modern Approach"]</ref>}} ==Ссылки==