Изменения

'''Индукционный переход:'''. Пусть <tex>n>1</tex> и <tex>m>1</tex>. Рассмотрим полный чёрно-белый граф из <tex>r(n-1,\;m)+r(n,\;m-1)</tex> вершин. Возьмём произвольную вершину <tex>v</tex> и обозначим через <tex>M</tex> и <tex>N</tex> множества инцидентные <tex>v</tex> в чёрном и белом подграфе соответственно. Так как в графе <tex>r(n-1,\;m)+r(n,\;m-1)=|M|+|N|+1</tex> вершин, согласно принципу Дирихле, либо <tex>|M|\geqslant r(n-1,\;m)</tex>, либо <tex>|N|\geqslant r(n,\;m-1)</tex>.

<tex>2)</tex> Рассмотрим клику на Предположим, <texmath>p=R(r(n-1, m-l\;s)+</math> и <math>q=R(r(n,\;s-1, m)</math> оба чётны. Положим <math>t=p+q-1</texmath> вершинах с рёбрами цветов 1 и 2 и его произвольную вершину рассмотрим чёрно-белый граф из <texmath>at</texmath>вершин. Если вершине <texmath>ad_i</texmath> степень <math> инцидентны хотя бы i<tex/math>r(n-й вершины в чёрном подграфе, то, согласно [[Лемма о рукопожатиях|лемме о рукопожатиях]],m-<math>\sum_{i=1)}^t d_i</texmath> — чётно. Поскольку <math> рёбер цвета 2 или хотя бы t<tex/math>r(n-1нечётно,m)должно существовать чётное <math>d_i</texmath> рёбер цвета 1. Для определённости положим, то мы найдём в графе клику на что <math>d_1</math> чётно. Обозначим через <texmath>nM</texmath> вершинах с рёбрами цвета 1 или клику на и <texmath>mN</texmath> вершинах с рёбрами цвета 2вершины инцидентные вершине 1 в чёрном и белом подграфах соответственно. Остаётся лишь случай, когда вершине Тогда <texmath>a|M|=d_1</texmath> инцидентны ровно и <texmath>r(n, m|N|=t-1)-1d_1</texmath> рёбер цвета 2, то же самое для всех остальных вершиноба чётны. Это означаетСогласно [[Принцип Дирихле (комбинаторика)|принципу Дирихле (комбинаторика)]], что в графе из рёбер цвета 2 всего либо <texmath>r(n, m-1)+r(n|M|\geqslant p-1</math>, m)-1либо <math>N\geqslant q</texmath>. Так как <math> вершин и степень каждой вершины равна |M|<tex/math>r(nчётно, m-1)а <math>p-1</texmath>. Однаконечётно, тогда в графе нечётное количество вершин нечётной степени. Противоречие показывает нампервое неравенство можно усилить, так что в случаелибо <math>|M|\geqslant p</math>, когда либо <math>|N|\geqslant q</math>. Предположим <texmath>|M|\geqslant p=R(r(n, m-1,\;s)</texmath>. Тогда либо подграф, порождённый множеством <math>M</math>, содержит белый <math>K_s</math> и доказательство завершено, либо он содержит чёрный <texmath>K_{r(n-1}</math>,m)который вместе с вершиной 1 образует чёрный <math>K_r</texmath> — чётные, выполняется неравенство . Случай <texmath>|N|\geqslant q=R(n, m)<r(n, m\;s-1)+r(n-1, m)-1</texmath>рассматривается аналогично.