Изменения

<tex>1)<\/tex> Докажем, что <tex>r(T_n,K_m) \ge (m-1)(n-1)+1</tex>. Для этого предъявим раскраску рёбер графа K_{(m-1)(n-1)}, в которой нет ни одного связного подграфа на <tex>n</tex> вершинах с рёбрами цвета <tex>1<\/tex> и нет клики на <tex>m</tex> вершинах с рёбрами цвета <tex>2<\/tex>. Разобьём вершины графа на <tex>m-1</tex> клику по <tex>n-1</tex> вершине и покрасим все рёбра этих клик в цвет <tex>1<\/tex>. Тогда любой связный подграф с рёбрами цвета <tex>1<\/tex> содержит не более <tex>n-1</tex> вершины, в частности, нет подграфа с рёбрами цвета <tex>1<\/tex>, изоморфного <tex>T_n</tex>. Рёбра цвета <tex>2<\/tex> (то есть, все оставшиеся рёбра) образуют <tex>(m-1)</tex>-дольный граф, в котором, очевидно, нет клики на <tex>m</tex> вершинах.

<tex>2)<\/tex> Рассмотрим произвольную раскраску рёбер полного графа <tex>K_{(m-1)(n-1)+1}</tex> в два цвета. Предположим, что не существует клики на <tex>m</tex> вершинах с рёбрами цвета <tex>2<\/tex>. Тогда <tex>m>1</tex> и <tex>\alpha(G_1) \le m-1</tex>. По [[#l1|лемме 1]], граф <tex>G_1</tex> содержит в качестве подграфа любое дерево на <tex>n</tex> вершинах в частности, дерево, изоморфное <tex>T_n</tex>.