Изменения

: Пусть <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> {{---}} произвольный матричный матроид над телом <tex>F</tex>, <tex> X = \{1,\ldots,m\} </tex>, <tex>r</tex> {{---}} его [[Ранговая функция, полумодулярность|ранговая функция]]. Рассмотрим сначала крайний случай [[Примеры матроидов|тривиального ]] и (двойственного к нему) [[Примеры матроидов|полного ]] матроида.:* Матроид <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> является тривиальным, если <tex>\mathcal{I} = \varnothing </tex>.:* Матроид <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> является полным, если <tex>\mathcal{I} = 2^X</tex>.:Они, очевидно, представимы над телом <tex>F</tex> нулевой и единичной матрицей соответственно. <br>

: Пусть теперь <tex>M</tex> {{---}} произвольный нетривиальный и не полный матричный матроид. Тогда <tex>M</tex> изоморфен матроиду столбцов некоторой <tex>(t \times m)</tex>-матрицы <tex>P</tex> над телом <tex>F</tex>. Т.к. матроид нетривиален и не полный, то <tex>rg(P) = r</tex> и <tex>0 < r < m </tex>. <br>: Рассмотрим следующую однородную систему уравнений над пространством векторов-столбцов <tex>F^m</tex>: <br>:: <tex>(1): PX=0</tex>.<br>: Для задания базиса ФСР этой системы нам достаточно<ref>[[wikipediahttps://ru:.wikipedia.org/wiki/Решение_систем_линейных_алгебраических_уравнений Википедия {{---}} Решение систем линейных алгебраических уравнений|достаточно]] </ref> <tex>m - r</tex> линейно независимых векторов. Пусть <br>:: <tex>(2): X_1, X_2,\ldots, X_{m-r}</tex><br>:{{---}} базис пространства решений системы (1). Составим из этих столбцов <tex>(m \times (m - r))</tex>-матрицу <tex>Q=(X_1, X_2, \ldots, X_{m-r})</tex>. Покажем, что матроид <tex>M^*</tex> изоморфен матроиду строк матрицы <tex>Q</tex> над телом <tex>F</tex>. Для этого нам достаточно установить, что система каких-либо <tex>r</tex> столбцов матрицы <tex>P</tex> линейно независима тогда и только тогда, когда линейно независима дополняющая ее система <tex>m - r</tex> строк матрицы <tex>Q</tex>. Дополняющая система строк {{---}} это система строк, номера которых дополняют номера столбцов исходной системы столбцов до множества <tex>\{1,\ldots, m\}</tex>. <br>:Возьмем произвольную систему из r cстолбцов матрицы <tex>P</tex>. Для простоты обозначений будем считать, что взяты первые<tex>r</tex> столбцов (мы всегда можем переставить столбцы матрицы местами, не поменяв характера их линейной зависимости). Пусть <tex>P_1(t\times r)</tex> {{---}} подматрица матрицы <tex>P</tex>, составленная из взятых первых <tex>r</tex> столбцов. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений над пространством векторов-столбцов <tex>F^r</tex>: <br>::<tex>(3): P_1Y=0</tex><br>: Пусть столбцы матрицы <tex>P_1</tex> линейно зависимы. Тогда система (3) имеет ненулевое решение <tex>Y</tex>. Добавим к нему снизу <tex>m - r</tex> нулей, получим ненулевое решение <tex>X</tex> системы (1). Выразим <tex>X</tex> через базис (2) пространства решений системы (1):<br>::<tex>(4): X=\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2 + \ldots + \alpha_{m-r} X_{m-r}</tex><br>: где среди коэффициентов есть хотя бы один ненулевой элемент из <tex>F</tex>. Введем в рассмотрение столбцы <br>::<tex>(5): X'_1, X'_2, \ldots, X'_{m-r}</tex><br>: из пространства <tex>F^{m-r}</tex>, полученные соответственно из столбцов <tex>X_1, X_2, \ldots, X_{m-r}</tex> отбрасыванием первых <tex>r</tex> компонент. Составим из этих "урезанных" столбцов <tex> ((m - r) \times (m - r))</tex>-матрицу <tex>Q_1 = (X'_1, X'_2, \ldots, X'_{m-r})</tex>. Матрица <tex>Q_1</tex> {{---}} это квадратная матрица порядка <tex>m-r</tex>, которая является подматрицей матрицы <tex>Q</tex> и расположена внизу матрицы <tex>Q</tex>. Из равенства (4) следует, что <br>:: <tex>(6): 0=\alpha_1 X'_1 + \alpha_2 X'_2 + \ldots + \alpha_{m-r} X'_{m-r}</tex><br>: т.е. система столбцов квадратной матрицы <tex>Q_1</tex> линейно зависима. Тогда линейно зависима и система строк этой матрицы, т.е. линейно зависима система из <tex>m - r</tex> последних строк матрицы <tex>Q</tex>. Что и требовалось доказать. <br>

:<tex>\Longrightarrow</tex>::Возьмем произвольную систему из r столбцов матрицы <tex>P</tex>. Для простоты обозначений будем считать, что взяты первые<tex>r</tex> столбцов (мы всегда можем переставить столбцы матрицы местами, не поменяв характера их линейной зависимости). Пусть <tex>P_1(t\times r)</tex> {{---}} подматрица матрицы <tex>P</tex>, составленная из взятых первых <tex>r</tex> столбцов. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений над пространством векторов-столбцов <tex>F^r</tex>: :::<tex>(3): P_1Y=0</tex>:: Пусть столбцы матрицы <tex>P_1</tex> линейно зависимы. Тогда система (3) имеет ненулевое решение <tex>Y</tex>. Добавим к нему снизу <tex>m - r</tex> нулей, получим ненулевое решение <tex>X</tex> системы (1). Выразим <tex>X</tex> через базис (2) пространства решений системы (1)::::<tex>(4): X=\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2 + \ldots + \alpha_{m-r} X_{m-r}</tex>:: где среди коэффициентов есть хотя бы один ненулевой элемент из <tex>F</tex>. Введем в рассмотрение столбцы :::<tex>(5): X'_1, X'_2, \ldots, X'_{m-r}</tex>:: из пространства <tex>F^{m-r}</tex>, полученные соответственно из столбцов <tex>X_1, X_2, \ldots, X_{m-r}</tex> отбрасыванием первых <tex>r</tex> компонент. Составим из этих "урезанных" столбцов <tex> ((m - r) \times (m - r))</tex>-матрицу <tex>Q_1 = (X'_1, X'_2, \ldots, X'_{m-r})</tex>. Матрица <tex>Q_1</tex> {{---}} это квадратная матрица порядка <tex>m-r</tex>, которая является подматрицей матрицы <tex>Q</tex> и расположена внизу матрицы <tex>Q</tex>. Из равенства (4) следует, что ::: <tex>(6): 0=\alpha_1 X'_1 + \alpha_2 X'_2 + \ldots + \alpha_{m-r} X'_{m-r}</tex>:: т.е. система столбцов квадратной матрицы <tex>Q_1</tex> линейно зависима. Тогда линейно зависима и система строк этой матрицы, т.е. линейно зависима система из <tex>m - r</tex> последних строк матрицы <tex>Q</tex>. Что и требовалось доказать.  :<tex>\Longleftarrow</tex>::Теперь докажем в обратную сторону. Пусть система каких-либо <tex>m - r</tex> строк матрицы <tex>Q</tex> линейно зависима. Для простоты обозначений будем считать, что эта система состоит из последних <tex> m - r </tex> строк матрицы <tex>Q</tex>. Тогда линейно зависима система (5) "урезанных" столбцов, составляющих матрицу <tex>Q_1</tex>. Следовательно, некоторая нетривиальная линейная комбинация (6) "урезанных" столбцов равна <tex>0</tex>. С помощью равенства (4) определим столбец <tex>X</tex>. Поскольку система столбцов (2) линейно независима, имеем <tex>X \ne 0</tex>. Столбец Х является решением системы (1), так как он равен линейной комбинации базиса пространства решений этой системы. Тогда столбец <tex>Y</tex>, полученный из столбца <tex>x</tex> отбрасыванием последних <tex>m - r </tex> нулевых компонент, является ненулевым решением системы (3). Следовательно, линейно зависима система из первых <tex>r</tex> столбцов матрицы <tex>P_1</tex>, что и требовалось доказать.

* ''Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В.'' {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2''' <br>