Объединение матроидов, доказательство того, что объединение является матроидом

Определение:

[math]M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle [/math] и [math] M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle [/math] — матроиды. Тогда [math] M_1 \cup M_2 = \langle X = X_1 \cup X_2, I = \mathcal \{ A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \mathcal \} \rangle [/math].

Лемма:

[math]M = \langle X, I \rangle[/math] — матроид, [math] f \colon X \to Y[/math]. Также существует обратное отображение [math] f^{-1} \colon Y \to X[/math]. Тогда [math]M_1 = \langle Y, I_1 = \mathcal \{ f(A) \mid A \in I \mathcal \} \rangle [/math] является матроидом.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем аксиомы независимости для [math] I_1 [/math]. [math]\varnothing \in I_1[/math] [math] \varnothing = f(\varnothing) \in I_1 [/math] [math]B \subset A, A \in I_1 \Rightarrow B \in I_1[/math] [math]A \in I_1[/math], значит [math]\exists S, S \in I[/math], такое, что [math] A = f(S)[/math]. [math]B = f(S \setminus f^{-1} (A \setminus B)), (S \setminus f^{-1} (A \setminus B)) \subset S \Rightarrow (S \setminus f^{-1} (A \setminus B)) \in I[/math]. Значит [math]B \in I_1[/math]. Пусть [math] A \in I_1, A = f(S), B \in I_1, B = f(T), |A| \gt |B|[/math]. Докажем, что [math]\exists y \in A \setminus B, B \cup \mathcal \{ y \mathcal \} \in I_1[/math] [math]A = f(S) \Rightarrow \exists S_1 \subset S, A = f(S_1), |S_1| = |A| [/math]. [math]B = f(T) \Rightarrow \exists T_1 \subset T, B = f(T_1), |T_1| = |B| [/math]. [math]S_1 \in I, T_1 \in I[/math] по второй аксиоме для [math]M[/math]. [math] |S_1| \gt |T_1| [/math], значит по третьей аксиоме для [math]M[/math], [math]\exists x \in S_1 \setminus T_1, T_1 \cup \mathcal \{ x \mathcal \} \in I[/math]. Следовательно [math]f(T_1 \cup \mathcal \{ x \mathcal \}) \in I_1 [/math] и [math]f(x) \in f(S_1 \setminus T_1) = A \setminus B. [/math] Также [math] f(T_1 \cup \mathcal \{ x \mathcal \}) = f(T_1) \cup f(x) = B \cup f(x)[/math]. Значит [math]\exists y = f(x) \in A \setminus B , B \cup \mathcal \{ y \mathcal \} \in I_1[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Объединение матроидов является матроидом.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим матроиды [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math] из определения объединения матроидов. Из леммы знаем, что [math] M_1 \oplus M_2= \langle X = X_1 \times \mathcal \{ 1 \mathcal \} \cup X_2 \times \mathcal \{ 2 \mathcal \}, I = \mathcal \{ A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \mathcal \} \rangle [/math] , где [math] X_1 \times \mathcal \{ i \mathcal \} [/math] — декартово произведение множеств [math] X_1 [/math] и [math] \mathcal \{ i \mathcal \} [/math], является матроидом. Пусть [math]f \colon X_1 \times \mathcal \{ 1 \mathcal \} \cup X_2 \times \mathcal \{ 2 \mathcal \} \to X_1 \cup X_2 [/math], такая, что [math]f(x \times \mathcal \{ 1 \mathcal \}) \rightarrow x [/math], [math]f(x \times \mathcal \{ 2 \mathcal \}) \rightarrow x [/math]. Тогда по вышеизложенной лемме [math] M_3 = \langle X_1 \cup X_2, I_3 = \mathcal \{ f(A) \mid A \in I \mathcal \} \rangle[/math] — матроид, в котором независимым множествам соответствуют объединения независимых множеств в [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math]. То есть [math]M_3 = M_1 \cup M_2[/math].

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Объединение матроидов, проверка множества на независимость
• Алгоритм построения базы в объединении матроидов

Источники информации

• Chandra Chekuri — Combinatorial Optimization
• Michel X. Goemans — Advanced Combinatorial Optimization
• Wikipedia — Matroid