Группы. Действие группы на множестве

Определение:

Группа [math]G[/math] действует на множестве [math]X[/math], если задано отображение [math]G \times X \rightarrow X[/math] (обозначается [math]g \cdot x[/math]), такое что для любого [math]x \in X[/math], а также для любых [math]g_1, g_2 \in G[/math] оно обладает свойствами: [math](g_1 \cdot g_2) \cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x)[/math] [math]\varepsilon \cdot x = x[/math]

Примеры

• TODO

Эквивалентность по группе

Определение:

Пусть группа [math]G[/math] действует на множестве [math]X[/math]. Введем на [math]X[/math] отношение эквивалентности [math]\sim[/math] для [math]x, y \in X[/math]: [math]x \sim y[/math], если [math]\exists g \in G : x = g \cdot y[/math]. Тогда, если [math]x \sim y[/math], то говорят, что [math]x[/math] и [math]y[/math] равны с точностью до группы.

Утверждение:

Отношение [math]\sim[/math] является отношением эквивалентности.

[math]\triangleright[/math]

Рефлексивность. Для любого [math]x \in X[/math] верно [math]x = \varepsilon \cdot x[/math], значит [math]x \sim x[/math]. Симметричность. Пусть [math]x \sim y[/math] для некоторых [math]x, y \in X[/math]. Тогда существует [math]g \in G[/math], такое что [math]x = g \cdot y[/math]. Пользуясь свойствами групп, получаем следующие равенства: [math]g^{-1} \cdot x = g^{-1} \cdot (g \cdot y) = (g^{-1} \cdot g) \cdot y = \varepsilon \cdot y = y[/math]. То есть [math]g^{-1} \cdot x = y[/math]. Значит, [math]y \sim x[/math]. Транзитивность. Пусть [math]x \sim y[/math] и [math]y \sim z[/math] для некоторых [math]x, y, z \in X[/math]. Тогда существуют такие [math]g_1, g_2 \in G[/math], что [math]x = g_1 \cdot y[/math], а [math]y = g_2 \cdot z[/math]. Отсюда следует, что [math]x = g_1 \cdot (g_2 \cdot z) = (g_1 \cdot g_2) \cdot z[/math]. То есть, [math]x \sim z[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Орбита и стабилизатор

Определение:

Пусть группа [math]G[/math] действует на множество [math]X[/math]. Тогда орбитой элемента [math]x \in X[/math] называется множество: [math]Orb(x) = \{y \in X \mid \exists g \in G : g \cdot x = y\}[/math]

Иными словами, орбитой элемента множества [math]X[/math] в группе [math]G[/math] называется порожденный им класс эквивалентности по отношению [math]\sim[/math].

Определение:

Элемент [math]x \in X[/math] называется неподвижной точкой элемента [math]g \in G[/math], если [math]g \cdot x = x[/math]

Определение:

Пусть группа [math]G[/math] действует на множество [math]X[/math]. Тогда стабилизатором элемента [math]g \in G[/math] называется множество его неподвижных точек: [math]St(g) = \{x \in X \mid g \cdot x = x\}[/math]