108
правок
Изменения
Нет описания правки
2) Существует хотя бы одна <tex>(a,b)</tex>-разделяющая внутренняя часть.
|proof =
Пусть, от противного, таких частей нет. Тогда, выходя из <tex>a</tex> внутри области, ограниченной <tex>C</tex>, и двигаясь вблизи от <tex>C</tex> по направлению обхода <tex>C</tex> и вблизи от встречающихся внутренних частей, можно уложить ребро <tex>e = ab</tex> внутри цикла <tex>C</tex> (см. рис. 11), т.е. <tex>G</tex> - планарный граф, что невозможно.[[Файл:pict-5.jpg|center|130px180px|рис. 11]]
}}
{{Лемма
|statement =
3) Существует внешняя часть, встречающая <tex>C(a,b)</tex> в точке <tex>c</tex> и <tex>C(b,a)</tex> — в точке <tex>d</tex>, для которой найдётся внутренняя часть, являющаяся одновременно <tex>(a,b)</tex>-разделяющей и <tex>(c,d)</tex>-разделяющей (см. рис. 12).
[[Файл:pict-6.jpg|center|120px180px|рис. 12]]
|proof =
Пусть, от противного, лемма 3 неверна. Упорядочим <tex>(a,b)</tex>-разделяющие внутренние части в порядке их прикрепления к циклу <tex>C</tex> при движении по циклу от <tex>a</tex> до <tex>b</tex> и обозначим их соответственно через <tex>In_{1},In_{2},...</tex>. Пусть <tex>u_{1}</tex> и <tex>u_{2}</tex> — первая и последняя вершины из <tex>C(a,b)</tex>, в которых <tex>In_{1}</tex> встречает цикл <tex>C</tex>, а <tex>v_{1}</tex> и <tex>v_{2}</tex> — первая и последняя вершины из <tex>C(b,a)</tex>, в которых <tex>In_{1}</tex> встречает цикл <tex>C</tex> (возможно, вообще говоря, <tex>u_{1} = u_{2}</tex> или <tex>v_{1} = v_{2}</tex>). Поскольку лемма 3 неверна, для любой внешней части обе её вершины, в которых она встречает <tex>C</tex>, лежат либо на <tex>C[v_{2},u_{1}]</tex>, либо на <tex>C[u_{2},v_{1}]</tex>. Тогда снаружи цикла <tex>C</tex> можно провести жорданову кривую <tex>P</tex>, не пересекая рёбер графа <tex>G'</tex>, соединяющую <tex>v_{2}</tex> с <tex>u_{1}</tex> (см. рис. 13).
[[Файл:pict-7.jpg|center|160px200px|рис. 13]]
Поскольку на участках <tex>C(u_{1},u_{2})</tex> и <tex>C(v_{1},v_{2})</tex> нет точек прикрепления внешних частей, используя жорданову кривую <tex>P</tex>, внутреннюю часть <tex>In_{1}</tex> можно перебросить ("вывернуть" наружу от цикла <tex>C</tex>) во внешнюю область цикла <tex>C</tex>, т.е. уложить её снаружи от цикла <tex>C</tex> и сделать её внешней частью.
Аналогично все остальные <tex>(a,b)</tex>-разделяющие внутренние части можно перебросить во внешнюю область от цикла <tex>C</tex>. После этого точно так же, как в доказательстве леммы 2, ребро <tex>e = ab</tex> можно уложить внутри цикла <tex>C</tex>, так как не останется <tex>(a,b)</tex>-разделяющих внутренних частей. Следовательно, мы получим укладку графа <tex>G</tex>, что невозможно.
