Алгоритм масштабирования потока

Алгоритм масштабирования потока - алгоритм поиска максимального потока путем регулирования пропускной способности ребер.

Суть

Этот алгоритм работает в предположении, что все пропускные способности ребер целые. Пусть есть граф [math]G[/math], [math]\forall (u,v)\in E\colon u_{(u,v)}\in\mathbb N[/math]. Суть алгоритма в нахождении сначала путей с высокой пропускной способностью, чтобы сразу сильно увеличивать поток. Пусть [math]U[/math] - максимальная пропускная способность. Введем параметр [math]\Delta = 2^{\lfloor\log_2U\rfloor}[/math]. На каждом шаге будем искать в остаточном графе увеличивающие пути с пропускной способностью не меньше [math]\Delta[/math] и увеличивать поток вдоль этих путей. В конце шага будем уменьшать [math]\Delta[/math] в два раза, и на следующем шаге будем искать увеличивающий путь с новым [math]\Delta[/math]. При [math]\Delta == 1[/math] алгоритм масштабирования идентичен алгоритму Эдмондса - Карпа, поэтому алгоритм масштабирования корректен.

Оценка сложности

На каждом шаге алгоритм выполняет [math]O(E)[/math] увеличений потока в худшем случае. Докажем это. [math]\Delta = 2^k[/math]. В конце шага множество вершин множество вершин можно разбить на две части: [math]A_k[/math] и [math]\overline{A_k}[/math]. Все ребра выходящие из [math]A_k[/math] имеют остаточную пропускную способность менее [math]2^k[/math]. Наибольшее количество ребер между [math]A_k[/math] и [math]\overline{A_k}[/math] равно E. Итого остаточный поток(поток, который может быть получен на оставшихся шагах) на текущей фазе с [math]k[/math] максимально составляет [math]2^kE[/math]. Каждый увеличивающий путь при данном [math]k[/math] имеет пропускную способность как минимум [math]2^k[/math]. На предыдущем шаге с масштабом [math]k+1[/math] остаточный поток ограничен [math]2^{k+1}E[/math]. Значит максимальное число появившихся увеличивающих путей равно [math]2E[/math]. Увеличивающий путь можно найти за [math]O(E)[/math], используя BFS. Количество шагов [math]O(log_2U)[/math]. Итоговая сложность [math]O(E^2log_2U)[/math].

Псевдокод

Capacity-Scaling
    [math]f\leftarrow 0[/math]
    [math]\Delta\leftarrow 2^{\lfloor\log_2U\rfloor}[/math]
    while [math]\Delta\gt 0[/math]
        while в [math]G_f[/math] существует [math]s-t[/math] путь с пропускной способностью большей [math]\Delta[/math]
           [math]P\leftarrow[/math] путь с пропускной способностью большей [math]\Delta[/math]
           [math]\delta\leftarrow\min\{c_{ij}\colon(i,j)\in P\}[/math]
           увеличить поток по ребрам [math]P[/math] на [math]\delta[/math]
           обновить [math]G_f[/math]
           [math]f\leftarrow f+\delta[/math]
    [math]\Delta\leftarrow\Delta/2[/math]
return f

Литература

• Olivier Juan, Yuri Boikov: Capacity Scaling for Graph Cuts in Vision
• Algorithm Tutorials. Maximum Flow: Augmenting Path Algorithms Comparison