Выброс

Рис 1.График boxplot населения регионов России в 1990 году, где можно заметить 5 выбросов

Выброс (англ. outlier) — небольшая доля объектов во входных данных, которая сильно выделяется из общей выборки. Многие алгоритмы машинного обучения чувствительны к разбросу и распределению значений признаков обрабатываемых объектов. Соответственно выбросы во входных данных могут исказить и ввести в заблуждение процесс обучения алгоритмов машинного обучения, что приводит к увеличению времени обучения, снижению точности моделей и, в конечном итоге, к снижению результатов. Даже до подготовки предсказательных моделей на основе обучающих данных выбросы могут приводить к ошибочным представлениям и в дальнейшем к ошибочной интерпретации собранных данных.

Виды выбросов

Выбросы могут быть двух видов: одномерные и многомерные. Одномерные выбросы можно найти при рассмотрении распределения значений объектов в одномерном пространстве. Многомерные выбросы можно найти в [math]n[/math]-мерном пространстве (из [math]n[/math]-объектов). Рассмотрение распределений в [math]n[/math]-мерных пространствах может быть очень сложным для человеческого мозга, поэтому необходимо обучить модель, чтобы сделать это.

Выбросы также могут отличаться в зависимости от окружающей среды: точечные выбросы, контекстуальные выбросы или коллективные выбросы. Точечные выбросы — это единичные точки данных, расположенные далеко от остальной части распределения. Контекстные выбросы могут представлять собой шум в данных, например, знаки препинания при выполнении анализа текста или сигнал фонового шума при распознавании речи. Коллективные выбросы могут быть подмножествами новшеств в данных, таких как сигнал, который может указывать на открытие новых явлений.

Причины возникновения выбросов

• Сбой работы оборудования
• Человеческий фактор
• Случайность
• Уникальные явления
• и др.

Примеры

Рис 2. Хорошо обученная модель с выбросами

Рис 3. Переобученная модель на выбросах

Рис 2 показывает хорошо обученную модель, в которой присутствуют два выброса. Как видно из рисунка данная модель показала себя устойчивой к выбросам, либо же вовремя прекратила своё обучение. Обратная ситуация обстоит с Рис 3, где модель сильно переобучилась из-за присутствующих в ней выбросов.

Методы обнаружения и борьбы с выбросами

Методы обнаружения выбросов

Рис 4. Так как t-распределение имеет более длинный хвост, нежели у нормального распределения, поэтому t-распределение менее чувствительно к выбросам.

1. Экстремальный анализ данных(англ. extreme value analysis). При таком анализе не применяются какие-либо специальные статистические методы. Обычно этот метод применим для одномерного случая. Алгоритм использования таков:
   • Визуализировать данные, используя диаграммы и гистограммы для нахождения экстремальных значений.
   • Задействовать распределение, например Гауссовское, и найти значения, чье стандартное отклонение отличается в 2-3 раза от математического ожидания или в полтора раза от первой либо третьей квартилей.
   • Отфильтровать предполагаемые выбросы из обучающей выборки и оценить работу модели.
2. Аппроксимирующий метод (англ. proximity method). Чуть более сложный метод, заключающийся в применении кластеризующих методов.
   • Использовать метод кластеризации для определения кластеров в данных.
   • Идентифицировать и отметить центроиды каждого кластера.
   • Соотнести кластеры с экземплярами данных, находящимися на фиксированном расстоянии или на процентном удалении от центроида соответствующего кластера.
   • Отфильтровать предполагаемые выбросы из обучающей выборки и оценить работу модели.
3. Проецирующие методы (англ. projections methods). Эти методы довольно быстро и просто определяют выбросы в выборке.
   • Использовать один из проецирующих методов, например метод главных компонент (англ. principal component analysis, PCA) или самоорганизующиеся карты Кохонена(англ. self-organizing map, SOM) или проекцию Саммона(англ. Sammon mapping, Sammon projection), для суммирования обучающих данных в двух измерениях.
   • Визуализировать отображение
   • Использовать критерий близости от проецируемых значений или от вектора таблицы кодирования (англ. codebook vector) для идентифицирования выбросов.
   • Отфильтровать предполагаемые выбросы из обучающей выборки и оценить работу модели.

Локально взвешенное сглаживание

Локально взвешенное сглаживание(англ. LOcally WEighted Scatter plot Smoothing, LOWESS). Данная методика была предложена Кливлендом(Cleveland) в 1979 году для моделирования и сглаживания двумерных данных [math]X^m={(x_i, y_i)}_{i=1}^m[/math]. Эта техника предоставляет общий и гибкий подход для приближения двумерных данных. Локально-линейная модель может быть записана в виде: [math]y_t=\alpha_t+\beta_t x_t + \varepsilon_t[/math]. Эта модель может быть расширена на случай локально-квадратичной зависимости и на модель с бо‘льшим числом независимых переменных. Параметры [math]\alpha_t[/math] и [math]\beta_t[/math] локально линейной модели оцениваются с помощью локально взвешенной регрессии, которая присваивает объекту тем больший вес, чем более близок он к объекту t. Степень сглаживания определяется параметром сглаживания [math]f[/math], который выбирает пользователь. Параметр [math]f[/math] указывает, какая доля (англ. fraction) данных используется в процедуре. Если [math]f = 0.5[/math], то только половина данных используется для оценки и влияет на результат, и тогда мы получим умеренное сглаживание. С другой стороны, если [math]f = 0.8[/math], то используются восемьдесят процентов данных, и сглаживание намного сильнее. Во всех случаях веса данных тем больше, чем они ближе к объекту [math]t[/math].

Постановка задачи

Пусть задано пространство объектов $X$ и множество возможных ответов [math]Y = \mathbb{R}[/math]. Существует неизвестная зависимость [math]y^*\colon X \to Y[/math], значения которой известны только на объектах обучающией выборки [math]X^l = (x_i\ ,\ y_i)^l_{i=1},\ y_i = y^*(x_i)[/math]. Требуется построить алгоритм [math]a\colon X\to Y[/math], аппроксимирующий неизвестную зависимость [math]y^*[/math]. Предполагается, что на множестве $X$ задана метрика [math]\rho(x,x')[/math].
Также стоит определить следующее. Для вычисления [math]a(x) = \alpha[/math] для [math]\forall x \in X[/math], воспользуемся методом наименьших квадратов: [math]Q(\alpha;X^l) = \sum_{i=1}^l \omega_i(x)(\alpha-y_i)^2 \rightarrow \underset{\alpha \in \mathbb{R}}{min}[/math], где [math]\omega_i[/math] — это вес $i$-ого объекта. Веса [math]\omega_i[/math] разумно задать так, чтобы они убывали по мере увеличения расстояния [math]\rho(x,x_i)[/math]. Для этого можно ввести невозрастающую, гладкую, ограниченную функцию [math]K:[0, \infty) \rightarrow [0, \infty)[/math], называемую ядром, и представить [math]\omega_i[/math] в следующем виде: [math]\omega_i(x) = K\left(\frac{\rho(x,x_i)}{h} \right )[/math], где $h$ — ширина окна. Приравняв равной нулю производную [math]\frac{\partial Q}{\partial \alpha} = 0[/math], и, выразив [math]\alpha[/math],получаем формулу Надарая-Ватсона : [math]a_h(x;X^l) = \frac{\sum_{i=1}^{l} y_i\omega_i(x)}{\sum_{i=1}^{l} \omega_i(x)} = \frac{\sum_{i=1}^{l} y_iK\left(\frac{\rho(x,x_i)}{h} \right )}{\sum_{i=1}^{l} K\left(\frac{\rho(x,x_i)}{h} \right )}[/math]

Проблема выбросов в этой задаче

Большие случайные ошибки в значениях [math]y_i[/math] сильно искажают оценку Надарая-Ватсона

Идея

Чем больше величина невязки [math]\varepsilon_i = \left | a_h\left (x_i;X^\ell\backslash\left \{x_i\right \} \right )-y_i\right |[/math], тем меньше должен быть вес i-го объекта [math]\omega_i(x)[/math]

Эвристика

Домножить веса [math]\omega_i(x)[/math] на коэффиценты [math]\gamma_i = \widetilde{K}\left ( \varepsilon_i \right )[/math], где [math]\widetilde{K}\left ( \varepsilon \right )[/math] — ещё одно ядро, вообще говоря, отличное от [math]K\left ( \rho \right )[/math]

Псевдокод

INPUT: [math]X^\ell[/math] - training sample;
OUTPUT: coefficents [math]\gamma_i, i = 1,...,\ell[/math];
________________________________________________________
1: initialization: [math]\gamma_i := 1, i = 1,...,\ell[/math]; //инициализация коэффициентов
2: do
3:   for each object [math]i = 1,...,\ell[/math];
4:     calculate cross-validation estimates: //вычислить оценки скользящего контроля
       [math]a_i := a_h(x_i;X^\ell\setminus{x_i}) = \frac{\sum\limits^{\ell}_{j=1,j\ne i} {y_j\gamma_j K \left ( \tfrac{\rho\left (x_i,x_j \right )}{h\left (x_i \right)} \right )}}{\sum\limits^{\ell}_{j=1,j\ne i}{\gamma_j K\left(\tfrac{\rho\left (x_i,x_j \right )}{h\left (x_i\right )}\right )} }[/math]
5:   for each object [math]i = 1,...,\ell[/math];
6:     [math]\gamma_i := \widetilde{K}\left (\left | a_i-y_i \right | \right );[/math]
7: while coefficents [math]\gamma_i[/math] not stabilized; //пока коэффициенты не стабилизируются

Пример на языке R

В этом примере мы попытаемся локально регрессировать и сгладить среднюю продолжительность безработицы на основе набора экономических данных из пакета $ggplot2$ языка $R$. Мы рассматриваем только первые 80 строк для этого анализа, чтобы легче было наблюдать степень сглаживания на приведенных ниже графиках.

data(economics, package="ggplot2")      # загрузка данных
economics$index <- 1:nrow(economics)    # создание индексной переменной
economics <- economics[1:80, ]          # усечение до 80 строк для более наглядного демонстрирования
loessMod10 <- loess(uempmed ~ index, data=economics, span=0.10) # 10% параметр сглаживания span
loessMod25 <- loess(uempmed ~ index, data=economics, span=0.25) # 25% параметр сглаживания span
loessMod50 <- loess(uempmed ~ index, data=economics, span=0.50) # 50% параметр сглаживания span

# получить сглаженный результат
smoothed10 <- predict(loessMod10) 
smoothed25 <- predict(loessMod25) 
smoothed50 <- predict(loessMod50)

# Нарисовать
plot(economics$uempmed, x=economics$date, type="l", main="Локально взвешенное сглаживание", xlab="Дата", ylab="Длительность безработицы")
lines(smoothed10, x=economics$date, col="red")
lines(smoothed25, x=economics$date, col="green")
lines(smoothed50, x=economics$date, col="blue")

Рис 5. На приведенном графике показано, что чем больше параметр сглаживания span, тем более сглаженной выглядит восстановленная регрессия

Другие алгоритмы борьбы с выбросами

В статистике методы, устойчивые к нарушениям модельных предположений о данных, называются робастными. Метод локально взвешенного сглаживания относится к робастным методам, так как он устойчив к наличию небольшого количества выбросов.

• Дерево принятия решения (англ. decision tree). Это дерево, как и уже описанный алгоритм локально взвешенного сглаживания, относится к робастным методам.
• Робастная регрессия (англ. robust regression). В отличии от регрессии, использующей, например, метод наименьших квадратов, в этом алгоритме не строится идеализированное предположение, что вектор ошибок [math]\varepsilon[/math] распределен согласно нормальному закону. Однако на практике зачастую имеют место отклонения от этого предположения. Тогда можно применить метод наименьших модулей (англ. Least Absolute Deviation, LAD ) в случае, если распределение ошибок измерений подчиняется распределению Лапласа (англ. Laplace distribution ).

См.также

• Общие понятия
• Переобучение

Источники информации

1. https://machinelearningmastery.com/how-to-identify-outliers-in-your-data/
2. https://ru.coursera.org/lecture/vvedenie-mashinnoe-obuchenie/obnaruzhieniie-vybrosov-t9PG4