|
|
(не показаны 74 промежуточные версии 3 участников) |
Строка 1: |
Строка 1: |
− | Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее(offline). | + | #перенаправление [[Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн]] |
− | Каждый запрос к дереву - это 2 вершины <tex>v</tex>,<tex>u</tex> для которых нужно найти такую вершину <tex>k</tex>, что <tex>k</tex>-предок вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex>, и <tex>k</tex> имеет максимальную глубину из всех таких вершин.
| |
− | Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время <tex>О(n + m)</tex>, т.е при достаточно большом m, за <tex>О(1)</tex> на запрос.
| |
− | == Алгоритм ==
| |
− | Запустим обход в глубину из корня в течении которого мы найдём все ответы на наши запросы.Ответ для вершин v,u находится, когда мы уже посетели вершины u, а в v обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё.
| |
− | Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины v(обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары v,u.
| |
− | Тогда заметим что ответ - это либо вершина v, либо какой-то её предок.Значит нам нужно найти предок вершины v, который является предком вершины u с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном v каждый из предков вершины v порождает некоторый класс вершин u, для которых он является ответом(в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка).
| |
− | На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs.
| |
− | Классы этих вершин - не пересекаются,а значит мы их можем эффективно обрабаывать с помощью dsu.
| |
− | Будем поддерживать массив ancestor[v] - представитель множества в котором содержится вершина v.
| |
− | Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.
| |
− | Когда мы приходим в новую вершину v мы должны добавить её в новый класс(ancestor[v] = v),а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объеденить это поддерево с нашим классом(операция union), и не забыть установить представителя как вершину v(взависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).
| |
− | После того как мы обработали всех детей вершины v,мы можем ответить на все запросы вида (v,u) где u-уже посещённая вершина.
| |
− | Нетрудно заметить что ответ для lca(v,u) = ancestor(find(u)).Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
| |
− | | |
− | | |
− | [[file:Afca13d4.png|500px|разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]]
| |
− | | |
− | === Реализация ===
| |
− | | |
− | vector<bool> visited;
| |
− | vector<int> query[n];
| |
− |
| |
− | int dsu_get (int v) {
| |
− | return v == dsu[v] ? v : dsu[v] = dsu_get (dsu[v]);
| |
− | }
| |
− |
| |
− | void unite (int a, int b,int new_ancestor) {
| |
− | a = dsu_get (a);
| |
− | b = dsu_get (b);
| |
− | dsu[a] = b;
| |
− | ancestor[b] = new_ancestor;
| |
− | }
| |
− |
| |
− | void dfs(int v) {
| |
− | visited[v] = true;
| |
− | for (u таких, что (v, u) — ребро в G)
| |
− | if (!visited[u])
| |
− | dfs(u);
| |
− | union(v,u,v);
| |
− | for (i = 0; i < query[v].size(); i++)
| |
− | if (visited[query[v][i]])
| |
− | cout << "LCA " << v << " " << u << " = " << ancestor[dsu_get(q[v][i])];
| |
− | }
| |
− |
| |
− | int main() {
| |
− | dfs(0);
| |
− | return 0;
| |
− | }
| |
− |
| |
− | === Оценка сложности ===
| |
− | Она состоит из нескольких оценок.
| |
− | Во-первых dfs работает О(n).
| |
− | Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных n затрачивают <tex>О(n)</tex> операций.
| |
− | В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных n выполняется за <tex>О(1)</tex>. Итоговая асимптотика получается <tex>\mathrm{O(n + m)}</tex>, но при достаточно больших m ответ за <tex>О(1)</tex> на один запрос.
| |