|
|
(не показано 50 промежуточных версий 3 участников) |
Строка 1: |
Строка 1: |
− | Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее (offline). | + | #перенаправление [[Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн]] |
− | Каждый запрос к дереву - это 2 вершины <tex>v</tex>,<tex>u</tex> для которых нужно найти такую вершину <tex>k</tex>, что <tex>k</tex>-предок вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex>, и <tex>k</tex> имеет максимальную глубину из всех таких вершин.
| |
− | Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время <tex>O (n + m)</tex>, т.е при достаточно большом m, за <tex>O (1)</tex> на запрос.
| |
− | == Алгоритм ==
| |
− | Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим обход в глубину из её.
| |
− | Ответ на каждый запрос мы найдём в течении этого <tex>dfs'a</tex>. Ответ для вершин <tex>v</tex>,<tex>u</tex> находится, когда мы уже посетили вершины <tex>u</tex>, а в <tex>v</tex> обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё.
| |
− | | |
− | Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины <tex>v</tex> (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары <tex>v</tex>,<tex>u</tex>.
| |
− | Тогда заметим что ответ - это либо вершина <tex>v</tex>, либо какой-то её предок. Значит нам нужно найти предок вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом (в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка).
| |
− | | |
− | На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в <tex>dfs</tex>.
| |
− | | |
− | Классы этих вершин - не пересекаются, а значит мы их можем эффективно обрабатывать с помощью <tex>dsu</tex>.
| |
− | Будем поддерживать массив <tex>ancestor[v]</tex> - представитель множества в котором содержится вершина <tex>v</tex>.
| |
− | Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.
| |
− | Когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex> мы должны добавить её в новый класс (<tex>ancestor[v] = v</tex>),а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объединить это поддерево с нашим классом (операция <tex>union</tex>), и не забыть установить представителя как вершину <tex>v</tex> (в зависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).
| |
− | | |
− | Зафиксируем вершины <tex>v</tex>, и выделим путь от корня до этой вершины. Теперь все рёбра "левее" этого пути уже добавлены в <tex>dsu</tex>, все рёбра правее — ещё не обработаны, а все рёбра на пути — обработаны, но в <tex>dsu</tex> ещё не добавлены, так как в <tex>dsu</tex> мы добавляем при выходе.
| |
− | Тогда можно заметить, что любая вершина из обработанных в <tex>dsu</tex> цепляются к какой-то вершине текущего пути, в <tex>dfs</tex>.
| |
− | К самой первой вершине этого пути, до которой мы доберёмся, если будем просто подниматься. Очевидно, это и есть <tex>lca</tex>.
| |
− | | |
− | После того как мы обработали всех детей вершины <tex>v</tex>,мы можем ответить на все запросы вида (<tex>v</tex>,<tex>u</tex>) где <tex>u</tex>-уже посещённая вершина.
| |
− | Нетрудно заметить что ответ для <tex>lca(v,u) = ancestor(find(u))</tex>.Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
| |
− | | |
− | | |
− | [[file:mytree.png|500px|разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]]
| |
− | | |
− | === Реализация ===
| |
− | | |
− | vector <bool> visited;
| |
− | vector <int> query[n];
| |
− |
| |
− | int dsu_get (int v) {
| |
− | return v == dsu[v] ? v : dsu[v] = dsu_get (dsu[v]);
| |
− | }
| |
− |
| |
− | unite (int a, int b,int new_ancestor) {
| |
− | a = dsu_get (a);
| |
− | b = dsu_get (b);
| |
− | dsu[a] = b;
| |
− | ancestor[b] = new_ancestor;
| |
− | }
| |
− |
| |
− | dfs(int v) {
| |
− | visited[v] = true;
| |
− | for (u таких, что (v, u) — ребро в G)
| |
− | if (not visited[u])
| |
− | dfs(u);
| |
− | union(v,u,v);
| |
− | for (i = 0; i < query[v].size; i++)
| |
− | if (visited[query[v][i]])
| |
− | cout << "LCA " << v << " " << u << " = " << ancestor[dsu_get(q[v][i])];
| |
− | }
| |
− |
| |
− | int main() {
| |
− | dfs(1); // можно запускать от любой вершины
| |
− | }
| |
− |
| |
− | === Оценка сложности ===
| |
− | Она состоит из нескольких оценок.
| |
− | Во-первых <tex>dfs</tex> работает О (n).
| |
− | Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> затрачивают <tex>О (n)</tex> операций.
| |
− | В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных <tex>n</tex> выполняется за <tex>О (1)</tex>. Итоговая асимптотика получается <tex>O (n + m)</tex>, но при достаточно больших <tex>m</tex> ответ за <tex>O (1)</tex> на один запрос.
| |